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第八章專題拓展8.3閱讀理解型,中考數(shù)學(福建專用),一、選擇題1.(2014龍巖,10,4分)定義符號min{a,b}的含義為:當a≥b時,min{a,b}=b;當a0)的圖象G經過點A(4,1),直線l:y=x+b與圖象G交于點B,與y軸交于點C.(1)求k的值;(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記圖象G在點A,B之間的部分與線段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.①當b=-1時,直接寫出區(qū)域W內的整點個數(shù);②若區(qū)域W內恰有4個整點,結合函數(shù)圖象,求b的取值范圍.,解析(1)由函數(shù)y=(x>0)的圖象過點A(4,1),得k=14=4.(2)①整點個數(shù)為3.②如圖,,若b>0,當直線過點(1,2)時,b=,當直線過點(1,3)時,b=,∴
4-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)=.(1)如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù).求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;(2)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10 x+y(1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”.求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值.,解析(1)證明:對任意一個完全平方數(shù)m,設m=n2(n為正整數(shù)).∵|n-n|=0,∴nn是m的最佳分解.∴對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)==1.(3分)(2)設交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t,則t=10y+x.∵t為“吉祥數(shù)”,∴t-t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18.∴y=x+2.(6分)∵1≤x≤y≤9,x,y為自然數(shù),∴“吉祥數(shù)”有:13,24,35,46,57,68,79.(7分)易知F(13)=,F(24)==,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=.∵>>>>>>,∴所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值是.(10分),12.(2016北京,29,8分)在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(x1,y1),點Q的坐標為(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關矩形”.下圖為點P,Q的“相關矩形”的示意圖.(1)已知點A的坐標為(1,0).①若點B的坐標為(3,1),求點A,B的“相關矩形”的面積;②點C在直線x=3上.若點A,C的“相關矩形”為正方形,求直線AC的表達式;(2)☉O的半徑為,點M的坐標為(m,3).若在☉O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為正方形,求m的取值范圍.,解析(1)①如圖,矩形AEBF為點A(1,0),B(3,1)的“相關矩形”.可得AE=2,BE=1.∴點A,B的“相關矩形”的面積為2.②由點A(1,0),點C在直線x=3上,點A,C的“相關矩形”AECF為正方形,可得AE=2.,當點C在x軸上方時,CE=2,可得C(3,2).∴直線AC的表達式為y=x-1.當點C在x軸下方時,CE=2,可得C(3,-2).∴直線AC的表達式為y=-x+1.(2)由點M,N的“相關矩形”為正方形,可設直線MN為y=x+b或y=-x+b.(i)當直線MN為y=x+b時,可得m=3-b.,由圖可知,當直線MN平移至與☉O相切,且切點在第四象限時,b取得最小值,此時直線MN記為M1N1,其中N1為切點,T1為直線M1N1與y軸的交點.∵△ON1T1為等腰直角三角形,ON1=,∴OT1=2,∴b的最小值為-2.∴m的最大值為5.當直線MN平移至與☉O相切,且切點在第二象限時,b取得最大值,此時直線MN記為M2N2,其中N,2為切點,T2為直線M2N2與y軸的交點.同理可得,b的最大值為2,m的最小值為1.∴m的取值范圍為1≤m≤5.(ii)當直線MN為y=-x+b時,同理可得,m的取值范圍為-5≤m≤-1.綜上所述,m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5.,13.(2016江西,22,10分)【圖形定義】如圖,將正n邊形繞點A順時針旋轉60后,發(fā)現(xiàn)旋轉前后兩圖形有另一個交點O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60后,交旋轉前的圖形于點P,連接PO,我們稱∠OAB為“疊弦角”,△AOP為“疊弦三角形”.【探究證明】(1)請在圖1和圖2中選擇其中一個證明:“疊弦三角形”(即△AOP)是等邊三角形;(2)如圖2,求證:∠OAB=∠OAE;【歸納猜想】(3)圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為,;(4)圖n中,“疊弦三角形”等邊三角形(填“是”或“不是”);(5)圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為(用含n的式子表示).,,解析(1)選擇圖1.證明:依題意得∠DAD=60,∠PAO=60.∵∠DAP=∠DAD-∠PAD=60-∠PAD,∠DAO=∠PAO-∠PAD=60-∠PAD,∴∠DAP=∠DAO.∵∠D=∠D,AD=AD,∴△DAP≌△DAO,∴AP=AO.∵∠PAO=60,∴△AOP是等邊三角形.(2分)選擇圖2.證明:依題意得∠EAE=60,∠PAO=60.∵∠EAP=∠EAE-∠PAE=60-∠PAE,∠EAO=∠PAO-∠PAE=60-∠PAE,∴∠EAP=∠EAO.,∵∠E=∠E,AE=AE,∴△EAP≌△EAO,∴AP=AO.∵∠PAO=60,∴△AOP是等邊三角形.(2分)(2)證法一:連接AC,AD,CD.∵AE=AB,∠E=∠B=108,ED=BC,∴△AED≌△ABC,∴AD=AC,∠ADE=∠ACB,由AD=AC,得∠ADC=∠ACD,∴∠ODC=∠OCD,∴OC=OD,,∴BC-OC=ED-OD,即BO=EO.∵AB=AE,∠B=∠E,∴△ABO≌△AEO,∴∠OAB=∠OAE.(5分)證法二:連接AC,AD,CD.∵AE=AB,∠E=∠B=108,ED=BC,∴△AED≌△ABC,∴AD=AC,∠ADE=∠ACB,∠EAD=∠BAC,∴點A在線段CD的垂直平分線上,∠ADC=∠ACD,∴∠ODC=∠OCD,∴OC=OD,∴點O在線段CD的垂直平分線上,∴直線AO是線段CD的垂直平分線,∴∠CAO=∠DAO,∴∠BAC-∠CAO=∠EAD-∠DAO,,即∠OAB=∠OAE.(5分)(3)15;24.(7分)(4)是.(8分)(5)60-.(10分),評析本題主要考查新定義“疊弦三角形”,等邊三角形和全等三角形以及正多邊形的綜合應用.解答本題的關鍵是先讀懂新定義,再利用新定義解決問題.同時要從特殊到一般歸納出結論.,14.(2016廈門,28,6分)當m,n是正實數(shù),且滿足m+n=mn時,就稱點P為“完美點”,已知點A(0,5)與點M都在直線y=-x+b上,點B,C是“完美點”,且點B在線段AM上,若MC=,AM=4,求△MBC的面積.,解析∵m+n=mn,且m,n是正實數(shù),∴+1=m,即=m-1,∴P(m,m-1),即“完美點”B在直線y=x-1上,∵點A(0,5)在直線y=-x+b上,∴b=5,∴直線AM的方程為y=-x+5,∵“完美點”B在直線AM上,∴由解得∴B(3,2),∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x,而直線y=x-1與直線y=x平行,直線y=-x+5與直線y=-x平行,∴直線AM與直線y=x-1垂直,∵點B是直線y=x-1與直線AM的交點,,解析∵m+n=mn,且m,n是正實數(shù),∴+1=m,即=m-1,∴P(m,m-1),即“完美點”B在直線y=x-1上,∵點A(0,5)在直線y=-x+b上,∴b=5,∴直線AM的方程為y=-x+5,∵“完美點”B在直線AM上,∴由解得∴B(3,2),∵一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=-x,而直線y=x-1與直線y=x平行,直線y=-x+5與直線y=-x平行,∴直線AM與直線y=x-1垂直,∵點B是直線y=x-1與直線AM的交點,,∴垂足是點B,∵點C是“完美點”,∴點C在直線y=x-1上,∴△MBC是直角三角形,∵B(3,2),A(0,5),∴AB=3,∵AM=4,∴BM=,又∵CM=,∴BC=1,∴S△MBC=BMBC=.,,思路分析由m+n=mn變形為=m-1,可知P(m,m-1),所以“完美點”在直線y=x-1上,點A(0,5)在直線y=-x+b上,求得直線AM:y=-x+5,進而求得B(3,2),根據(jù)直線平行的性質證得直線AM與直線y=x-1垂直,然后根據(jù)勾股定理求得BC的長,從而求得三角形的面積.,點評本題考查了一次函數(shù)的性質,直角三角形的判定,勾股定理的應用以及三角形面積的計算等,判斷直線垂直,借助正比例函數(shù)是本題的關鍵.,15.(2015泉州,26,13分)閱讀理解拋物線y=x2上任意一點到點(0,1)的距離與到直線y=-1的距離相等,你可以利用這一性質解決問題.問題解決如圖,在平面直角坐標系中,直線y=kx+1與y軸交于C點,與函數(shù)y=x2的圖象交于A,B兩點,分別過A,B兩點作直線y=-1的垂線,交于E,F兩點.(1)寫出點C的坐標,并說明∠ECF=90;(2)在△PEF中,M為EF中點,P為動點.①求證:PE2+PF2=2(PM2+EM2);②已知PE=PF=3,以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF,若1
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福建專用2019年中考數(shù)學復習
第八章
專題拓展
8.3
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數(shù)學
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