2018-2019學年武漢市蔡甸區(qū)八年級上期中數(shù)學試卷(含答案解析)

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2018-2019學年湖北省武漢市蔡甸區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（10×3分30分) 1．若三角形的三邊長分別為3，4，x﹣1，則x的取值范圍是（　　） A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6 2．如圖所示，一個直角三角形紙片，剪去這個直角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為（　?。? A．150° B．180° C．240° D．270° 3．已知凸n邊形有n條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是（　?。? A．360° B．540° C．720° D．900° 4．如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是（　　） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 5．如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 6．如圖，在3×3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的△ABC為格點三角形，在圖中最多能畫出（　?。﹤€格點三角形與△ABC成軸對稱． A．6個 B．5個 C．4個 D．3個 7．如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，∠A=80°，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，則∠BOC等于（　?。? A．140° B．120° C．130° D．無法確定 8．小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于（　　） A．180° B．210° C．360° D．270° 9．如圖，在△ACD和△BCE中，AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，AD與BE相交于點P，則∠BPD的度數(shù)為（　?。? A．110° B．125° C．130° D．155° 10．如圖，在△ABC中，E為AC的中點，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD與BE相交于點O，若△OAE的面積比△BOD的面積大1，則△ABC的面積是（　?。? A．8 B．9 C．10 D．11 　 二、填空題（6×3分=18分） 11．凸多邊形的外角和等于　 ?。? 12．已知兩點A（﹣a，5），B（﹣3，b）關于x軸對稱，則a+b=　 　． 13．如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，則∠ADE的度數(shù)為　 ?。? 14．如圖，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=80°，則∠DAE=　 　． 15．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法中正確的序號是　 ?。? ①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH． 16．如圖，在△ABC中，點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點，若∠A=60°，則∠BMN的度數(shù)是　 　． 　 三、解答題（共72分） 17．（8分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形是幾邊形？ 18．（8分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，BE=CF，AB=DE，AC=DF． 求證：AB∥DE． 19．（8分）如圖，點E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED． 20．（8分）如圖，AD為△ABC的中線，F(xiàn)在AC上，BF交AD于E，且BE=AC． 求證：AF=EF． 21．（8分）如圖，AB＞AC，∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點D，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：BE=CF． 22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中有一個軸對稱圖形，A（3，2），B（3，﹣6）兩點在此圖形上且互為對稱點，若此圖形上有一個點C（﹣2，+1）． （1）求點C的對稱點的坐標． （2）求△ABC的面積． 23．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分別為△ABC的角平分線，連結(jié)DE． （1）求證：點E到DA，DC的距離相等； （2）求∠DEB的度數(shù)． 24．（12分）已知射線AP是△ABC的外角平分線，連結(jié)PB、PC． （1）如圖1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，直接寫出∠APB=　 ?。? （2）如圖1，若P與A不重合，求證：AB+AC＜PB+PC． （3）如圖2，若過點P作NM⊥BA，交BA延長線于M點，且∠BPC=∠BAC，求：的值． 　  2018-2019學年湖北省武漢市蔡甸區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（10×3分30分) 1．若三角形的三邊長分別為3，4，x﹣1，則x的取值范圍是（　　） A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6 【分析】三角形的三邊關系是：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊．已知兩邊時，第三邊的范圍是＞兩邊的差，＜兩邊的和．這樣就可以確定x的范圍，從而確定x的值． 【解答】解：依據(jù)三角形三邊之間的大小關系，列出不等式組 ，解得2＜x＜8． 故選：B． 【點評】考查了三角形的三邊關系，能夠熟練解不等式組． 2．如圖所示，一個直角三角形紙片，剪去這個直角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為（　　） A．150° B．180° C．240° D．270° 【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出∠3+∠4的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，計算出∠1+∠2的度數(shù)． 【解答】解：∵∠5=90°， ∴∠3+∠4=180°﹣90°=90°， ∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°， ∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°， 故選：D． 【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和定理，關鍵是利用、三角形的內(nèi)角和180°，四邊形的內(nèi)角和360°． 3．已知凸n邊形有n條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是（　?。? A．360° B．540° C．720° D．900° 【分析】根據(jù)多邊形的對角線公式得出方程，求出n，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可． 【解答】解：∵凸n邊形有n條對角線， ∴=n， 解得：n=0（舍去），n=5， 即多邊形的邊數(shù)是5， 所以這個多邊形的內(nèi)角和=（5﹣2）×180°=540°， 故選：B． 【點評】本題考查了多邊形的外角和內(nèi)角、多邊形的對角線，能熟記多邊形的對角線公式和多邊形內(nèi)角和公式是解此題的關鍵，注意：n邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）×180°，n（n＞3）邊形的對角線的總條數(shù)=． 4．如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是（　?。? A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 【分析】求出AF=CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可． 【解答】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， A、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正確，故本選項錯誤； B、根據(jù)AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯誤，故本選項正確； C、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS），正確，故本選項錯誤； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正確，故本選項錯誤； 故選：B． 【點評】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 5．如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB的依據(jù)是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等，進而得出答案． 【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP=∠NOP， ∴OP是∠AOB的平分線． 故選：D． 【點評】本題考查了全等三角形的應用以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關鍵． 6．如圖，在3×3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的△ABC為格點三角形，在圖中最多能畫出（　?。﹤€格點三角形與△ABC成軸對稱． A．6個 B．5個 C．4個 D．3個 【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解 【解答】解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱． 故選：A． 【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準確找出對應點的位置是解題的關鍵，本題難點在于確定出不同的對稱軸． 7．如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，∠A=80°，BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，則∠BOC等于（　?。? A．140° B．120° C．130° D．無法確定 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°，根據(jù)角平分線求出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB求出∠OBC+∠OCB=50°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可． 【解答】解：∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°， ∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=50°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=130°， 故選：C． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線定義的應用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°． 8．小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于（　?。? A．180° B．210° C．360° D．270° 【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)分別表示出∠α和∠β，計算即可． 【解答】解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故選：B． 【點評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵． 9．如圖，在△ACD和△BCE中，AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，AD與BE相交于點P，則∠BPD的度數(shù)為（　?。? A．110° B．125° C．130° D．155° 【分析】由條件可證明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形內(nèi)角和可求得∠APB=∠ACB，則可求得∠BPD． 【解答】解： 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠ACD=∠BCE，∠A=∠B， ∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD， ∴∠ACB=∠ECD=（∠BCD﹣∠ACE）=×（155°﹣55°）=50°， ∵∠B+∠ACB=∠A+∠APB， ∴∠ABP=∠ACB=50°， ∴∠BPD=180°﹣50°=130°， 故選：C． 【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵． 10．如圖，在△ABC中，E為AC的中點，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD與BE相交于點O，若△OAE的面積比△BOD的面積大1，則△ABC的面積是（　?。? A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先證明BD：DC=2：3，設△ABC的面積為S．則S△ADC=S，S△BEC=S，構(gòu)建方程即可解決問題； 【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． ∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N， ∴DM=DN， ∴S△ABD：S△ADC=BD：DC=?AB?DN： ?AC?DM=AB：AC=2：3， 設△ABC的面積為S．則S△ADC=S，S△BEC=S， ∵△OAE的面積比△BOD的面積大1， ∴△ADC的面積比△BEC的面積大1， ∴S﹣S=1， ∴S=10， 故選：C． 【點評】本題考查三角形的面積、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題． 　 二、填空題（6×3分=18分） 11．凸多邊形的外角和等于　360°?。? 【分析】根據(jù)多邊形的外角和=360度解答即可． 【解答】解：凸多邊形的外角和等于360°， 故答案為：360° 【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，利用多邊形的外角和等于360°即可解決問題． 12．已知兩點A（﹣a，5），B（﹣3，b）關于x軸對稱，則a+b=　﹣2?。? 【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案． 【解答】解：∵兩點A（﹣a，5），B（﹣3，b）關于x軸對稱， ∴﹣a=﹣3，b=﹣5， 則a=3， 故a+b=﹣2． 故答案為：﹣2． 【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，正確把握點的坐標特點是解題關鍵． 13．如圖，D在BC邊上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40°，則∠ADE的度數(shù)為　70°?。? 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠ADE=∠B，再根據(jù)∠EAC=40°，即可得到∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的對應角相等，即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠ADE=∠B， ∴∠EAC=∠DAB=40°， ∴△ABD中，∠B=（180°﹣∠BAD）=70°， ∴∠ADE=∠B=70°， 故答案為：70°． 【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題時注意：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等． 14．如圖，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B=50°，∠C=80°，則∠DAE=　15°　． 【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得∠CAE和∠CAD的度數(shù)，從而可以求得∠DAE的度數(shù)． 【解答】解：∵在△ABC中，AD是高，∠B=50°，∠C=80°， ∴∠ADC=90°，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=50°， ∴∠CAD=10°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=25°， ∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=15°， 故答案為：15°． 【點評】本題考查三角形內(nèi)角和，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 15．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面說法中正確的序號是　①②③?。? ①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH． 【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠CAD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠FAG=∠ACD，根據(jù)角平分線定義即可判斷③；根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可． 【解答】解：∵BE是中線， ∴AE=CE， ∴△ABE的面積=△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確； ∵CF是角平分線， ∴∠ACF=∠BCF， ∵AD為高， ∴∠ADC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG=∠AGF，故②正確； ∵AD為高， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ACB=∠BAD， ∵CF是∠ACB的平分線， ∴∠ACB=2∠ACF， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF，故③正確； 根據(jù)已知條件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④錯誤； 故答案為：①②③． 【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵． 16．如圖，在△ABC中，點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點，若∠A=60°，則∠BMN的度數(shù)是　50°?。? 【分析】過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出MN平分∠BMC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BMC的度數(shù)，從而得解． 【解答】解：如圖，過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F， ∵∠ABC的三等分線與∠ACB的三等分線分別交于點M、N， ∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB， ∴NE=NG，NF=NG， ∴NE=NF， ∴MN平分∠BMC， ∴∠BMN=∠BMC， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°， 根據(jù)三等分，∠MBC+∠MCB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=80°， 在△BMC中，∠BMC=180°﹣（∠MBC+∠MCB）=180°﹣80°=100°， ∴∠BMN=×100°=50°， 故答案為：50°． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)與判定，作輔助線，判斷出MN平分∠BMC是解題的關鍵，注意整體思想的利用． 　 三、解答題（共72分） 17．（8分）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形是幾邊形？ 【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和公式和外角和公式，列出等式求解即可． 【解答】解：設這個多邊形的邊數(shù)為n， ∴（n﹣2）?180°=2×360°， 解得：n=6． 故這個多邊形是六邊形． 【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，是基礎知識要熟練掌握． 18．（8分）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，BE=CF，AB=DE，AC=DF． 求證：AB∥DE． 【分析】欲證明AB∥DE，只要證明∠B=∠DEF． 【解答】證明：∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等條件，屬于中考?？碱}型． 19．（8分）如圖，點E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED． 【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形對應邊相等可得BC=EC，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BEC，從而得到∠BEC=∠DEC，再根據(jù)角平分線的定義證明即可． 【解答】證明：∵△ABC≌△DEC， ∴∠B=∠DEC，BC=EC， ∴∠B=∠BEC， ∴∠BEC=∠DEC， ∴CE平分∠BED． 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵． 20．（8分）如圖，AD為△ABC的中線，F(xiàn)在AC上，BF交AD于E，且BE=AC． 求證：AF=EF． 【分析】延長AD至P使DP=AD，連接BP，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：延長AD至P使DP=AD，連接BP， 在△PDB與△ADC中 ， ∴△PDB≌△ADC（SAS）， ∴BP=AC，∠P=∠DAC， ∵BE=AC， ∴BE=BP， ∴∠P=∠BEP， ∴∠AEF=∠EAF， ∴AF=EF． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 21．（8分）如圖，AB＞AC，∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點D，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：BE=CF． 【分析】連結(jié)BD，CD，由角平分線的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)就可以得出△BED≌△CFD就可以得出結(jié)論； 【解答】證明：連結(jié)BD，CD． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF． ∵DG垂直平分BC， ∴DB=DC． 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）， ∴BE=CF； 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，線段的垂直平分線的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵． 22．（10分）如圖，在平面直角坐標系中有一個軸對稱圖形，A（3，2），B（3，﹣6）兩點在此圖形上且互為對稱點，若此圖形上有一個點C（﹣2，+1）． （1）求點C的對稱點的坐標． （2）求△ABC的面積． 【分析】（1）根據(jù)A、B的坐標，求出對稱軸方程，即可據(jù)此求出C點對稱點坐標． （2）根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論． 【解答】解：∵A、B關于某條直線對稱，且A、B的橫坐標相同， ∴對稱軸平行于x軸， 又∵A的縱坐標為2，B的縱坐標為﹣6， ∴故對稱軸為y==﹣2， ∴y=﹣2． 則設C（﹣2，1）關于y=﹣2的對稱點為（﹣2，m）， 于是=﹣2， 解得m=﹣5． 則C的對稱點坐標為（﹣2，﹣5）． （2）如圖所示，S△ABC=×（﹣2+6）×（3+2）=10． 【點評】此題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，要知道，以關于x軸平行的直線為對稱軸的點的橫坐標不變，縱坐標之和的平均數(shù)為對稱軸上點的縱坐標． 23．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分別為△ABC的角平分線，連結(jié)DE． （1）求證：點E到DA，DC的距離相等； （2）求∠DEB的度數(shù)． 【分析】（1）過E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，求出∠HAE=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EH=EG，EF=EH，即可得出答案； （2）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠ADE=∠CDE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可． 【解答】（1）證明： 過E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G， ∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠CAD=60°， ∵∠CAH=180°﹣120°=60°， ∴AE平分∠HAD， ∴EH=EG， ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC， ∴EH=EF， ∴EF=EG， ∴點E到DA、DC的距離相等； （2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠DEB+∠DBE， ∴=∠DEB+∠ABC， ∴∠DEB=（∠CDA﹣∠ABC）=∠BAD=30°． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)，能熟記角平分線性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 24．（12分）已知射線AP是△ABC的外角平分線，連結(jié)PB、PC． （1）如圖1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，直接寫出∠APB=　15°?。? （2）如圖1，若P與A不重合，求證：AB+AC＜PB+PC． （3）如圖2，若過點P作NM⊥BA，交BA延長線于M點，且∠BPC=∠BAC，求：的值． 【分析】（1）根據(jù)三角形的角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （2）在射線AD上取一點H，是的AH=AC，連接PH．則△APH≌△APC，根據(jù)三角形的三邊關系即可得到結(jié)論． （3）過P作PN⊥AC于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM=PN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN，BM=CN，于是得到結(jié)論． 【解答】解：（1）∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠1=∠2+∠APB， ∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC， ∴∠1=DAC，∠2=∠ABC， ∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°， 故答案為：15°； （2）在射線AD上取一點H，是的AH=AC，連接PH．則△APH≌△APC， ∴PC=PD， 在△BPH中，PB+PH＞BH， ∴PB+PC＞AB+AC． （3）過P作PN⊥AC于N， ∵AP平分∠MAN，PM⊥BA， ∴PM=PN， 在Rt△APM與Rt△APN中，， ∴Rt△APM≌Rt△APN（HL）， ∴AM=AN， ∵∠BPC=∠BAC， ∴A，B，C，P四點共圓， ∴∠ABP=∠PCN， 在△PMB與△PNC中，， ∴BM=CN， ∵AM=AN， ∴AC﹣AB=2AM， ∴． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理，三角形的三邊關系，角平分線的定義和性質(zhì)，三角形額外角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．