（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 專題突破練28 坐標系與參數(shù)方程 文 選修4-4

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1、專題突破練28　坐標系與參數(shù)方程(選修4—4) 1.(2019吉林長春外國語學校高二下學期第二次月考)已知曲線C的極坐標方程為ρ2=364cos2θ+9sin2θ. (1)若以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,求曲線C的直角坐標方程; (2)若P(x,y)是曲線C上的一個動點,求x+2y的最大值. 2.已知直線l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=tsinα(其中t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2-2mρcos θ-4=0(其中m>0). (1

2、)若點M的直角坐標為(3,3),且點M在曲線C內,求實數(shù)m的取值范圍; (2)若m=3,當α變化時,求直線l被曲線C截得的弦長的取值范圍. 3.(2019河北唐山第一中學高三下學期沖刺二)已知直線l:x=1+12t,y=32t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)). (1)設l與C1相交于AB兩點,求|AB|; (2)若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的12倍,縱坐標壓縮為原來的32倍,得到曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.

3、 4.(2019晉冀魯豫中原名校高三第三次聯(lián)考)在極坐標系中,O為極點,點A2,π4,點B2,7π4. (1)以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,求經(jīng)過O,A,B三點的圓M的直角坐標方程; (2)在(1)的條件下,圓N的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0(a>0),若圓M與圓N相切,求實數(shù)a的值. 5.(2019內蒙古呼倫貝爾高三模擬統(tǒng)一考試)在直角坐標系中,圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosα,y=3+2sinα(α為參數(shù)),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且長度單位相同. (

4、1)求圓C的極坐標方程; (2)若直線l:x=tcosφ,y=tsinφ(t為參數(shù))被圓C截得的弦長為23,求直線l的傾斜角. 6.在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.

5、 7.(2019河北石家莊高中畢業(yè)班模擬)在極坐標系中,曲線C的方程為ρcos2θ=asin θ(a>0),以極點為原點,極軸所在直線為x軸建立直角坐標,直線l的參數(shù)方程為x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),l與C交于M,N兩點. (1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程; (2)設點P(2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值. 8.(2019湖南桃江第一中學高三5月模擬考試)在直角坐標系xOy中,直線l的方程為x+y-a=0,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosα,y=s

6、inα(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線l和曲線C的極坐標方程; (2)若直線l與曲線C交于A,B兩點,且直線OA與OB的斜率之積為54,求a. 參考答案 專題突破練28　坐標系與參數(shù) 方程(選修4—4) 1.解(1)由題得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36, 所以4x2+9y2=36,故x29+y24=1. 所以曲線C的直角坐標方程為x29+y24=1. (2)設P(3cosα,2sinα),所以x+2y=3cosα+4sinα=5sin(α+β)≤5. 其中β在第一象限,且t

7、anβ=34. 所以x+2y的最大值為5. 2.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得曲線C對應的直角坐標方程為(x-m)2+y2=m2+4. 由點M在曲線C的內部, ∴(3-m)2+9

8、 3.解(1)l的普通方程為y=3(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1. 聯(lián)立方程組y=3(x-1),x2+y2=1,解得l與C1的交點為A(1,0),B12,-32,則|AB|=1. (2)C2的參數(shù)方程為x=12cosθ,y=32sinθ(θ為參數(shù)), 故點P的坐標是12cosθ,32sinθ, 從而點P到直線l的距離是32cosθ-32sinθ-32=342sinθ-π4+2, 由此當sinθ-π4=-1時,d取得最小值,且最小值為64(2-1). 4.解(1)在平面直角坐標系中,點O的坐標為(0,0),點A的坐標為(1,1),點B的坐標為(1,-1),可得圓M的圓心

9、坐標為(1,0),半徑為1,所以圓M的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1. (2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圓N的極坐標方程,可得圓N的直角坐標方程為x2+y2-2y+1-a2=0, 整理為x2+(y-1)2=a2,可得圓N的圓心為(0,1),半徑為a, 圓M與圓N的圓心距為2,若圓M與圓N相外切,有a+1=2, 所以a=2-1. 若圓M與圓N內切,則有a-1=2,所以a=2+1. 綜上:實數(shù)a=2-1或a=2+1. 5.解(1)圓C:x=1+2cosα,y=3+2sinα,消去參數(shù)α,得(x-1)2+(y-3)2=4,即x2+y2-2x-23y=0. ∵ρ2=x2

10、+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ. ∴ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ=0, 所以ρ=4cosθ-π3. 故圓C的極坐標方程是ρ=4cosθ-π3. (2)直線l:x=tcosφ,y=tsinφ的極坐標方程為θ=φ, 當θ=φ時,ρ=4cosφ-π3=23. 即cosφ-π3=32, ∴φ-π3=π6或φ-π3=-π6. ∴φ=π2或φ=π6. ∴直線l的傾斜角為π6或π2. 6.解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2). 設P(x,y),由題設得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2

11、-y2=4(y≠0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯(lián)立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0, 得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 故tanθ=-13, 從而cos2θ=910,sin2θ=110. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為5. 7.解(1)由題意,曲線C的極坐標方程可化為ρ2cos2θ=aρsinθ(a>0), 又由x=ρcosθ,y=ρsinθ(θ為參數(shù)),可得曲線C的直角坐標方程為x2=a

12、y(a>0), 由直線l的參數(shù)方程為x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,得x+y-1=0,即直線l的普通方程為x+y-1=0. (2)把l的參數(shù)方程x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù))代入拋物線的直角坐標方程中,得t2-(42+2a)t+(8+2a)=0, 由Δ=2a2+8a>0,設方程的兩根分別為t1,t2,則t1+t2=42+2a>0,t1t2=8+2a>0,可得t1>0,t2>0. 所以|MN|=|t1-t2|,|PM|=t1,|PN|=t2. 因為|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列, 所以(t1-t2)2=t1t2,即(t1+t2)2=5t

13、1t2. 則(42+2a)2=5(8+2a),解得a=1或a=-4(舍去負值). 所以實數(shù)a=1. 8.解(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y-a=0的方程中, 所以直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ-a=0. 在曲線C的參數(shù)方程中,消去α,可得x24+y2=1, 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x24+y2=1的方程中, 所以曲線C的極坐標方程為ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4. (2)直線l與曲線C的公共點的極坐標滿足方程組ρcosθ+ρsinθ-a=0,ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4, 由方程組得a2(4sin2θ+cos2θ)=4(cosθ+sinθ)2,得4a2sin2θ+a2cos2θ=4(sin2θ+cos2θ+2cosθsinθ), 兩邊同除cos2θ,可化為4a2tan2θ+a2=4+8tanθ+4tan2θ, 即(4a2-4)tan2θ-8tanθ+a2-4=0. 設A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),則kOAkOB=tanθ1tanθ2=a2-44a2-4=54,解得a=±12. 13