2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項版匯編 專題08 數(shù)列 理（含解析）

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1、專題08 數(shù)列 1．【2019年高考全國I卷理數(shù)】記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題知，，解得，∴，,故選A． 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當計算即可做了判斷． 2．【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則， 解得，，故選C． 【名

2、師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵. 3．【2019年高考浙江卷】設(shè)a，b∈R，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=an2+b，，則 A．當 B．當 C．當 D．當 【答案】A 【解析】①當b=0時，取a=0，則. ②當時，令，即. 則該方程，即必存在，使得， 則一定存在，使得對任意成立， 解方程，得， 當時，即時，總存在，使得， 故C、D兩項均不正確. ③當時，， 則， . （?。┊敃r，， 則， ， ， 則， ， 故A項正確. （ⅱ）當時，令，則， 所以，以此類推， 所以， 故B項不正確. 故本題正確答案為A

3、. 【名師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解. 4．【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________． 【答案】 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又， 所以所以． 【名師點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤． 5．【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________. 【答案】4 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,

4、 因，所以，即， 所以． 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案． 6．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________． 【答案】 0，. 【解析】等差數(shù)列中,,得又,所以公差,, 由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為. 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識?基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查. 7．【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其

5、前n項和.若，則的值是_____. 【答案】16 【解析】由題意可得：， 解得：，則. 【名師點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組. 8．【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，. （I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列； （II）求{an}和{bn}的通項公式. 【答案】（I）見解析；（2），. 【解析】（1）由題設(shè)得，即． 又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比

6、數(shù)列． 由題設(shè)得，即． 又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． （2）由（1）知，，． 所以， ． 9．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項（i1

7、項均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s–1，且長度為s末項為2s–1的遞增子列恰有2s-1個（s=1，2，…），求數(shù)列{an}的通項公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）設(shè)長度為q末項為的一個遞增子列為. 由p

8、為m末項為2m?1的遞增子列，則是數(shù)列的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾. 再證明：所有正偶數(shù)都是中的項. 假設(shè)存在正偶數(shù)不是中的項，設(shè)不在中的最小的正偶數(shù)為2m. 因為2k排在2k?1之前（k=1，2，…，m?1），所以2k和不可能在的同一個遞增子列中. 又中不超過2m+1的數(shù)為1，2，…，2m?2，2m?1，2m+1，所以的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數(shù)至多為. 與已知矛盾. 最后證明：2m排在2m?3之后（m≥2為整數(shù)）. 假設(shè)存在2m（m≥2），使得2m排在2m?3之前，則的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數(shù)小于.與已知矛盾. 綜上，數(shù)

9、列只可能為2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…. 經(jīng)驗證，數(shù)列2，1，4，3，…，2m?3，2m，2m?1，…符合條件. 所以 【名師點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶. 10．【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知． （Ⅰ）求和的通項公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中． （i）求數(shù)列的通項公式； （

10、ii）求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故． 所以，的通項公式為的通項公式為． （Ⅱ）（i）． 所以，數(shù)列的通項公式為． （ii） ． 【名師點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式等基礎(chǔ)知識．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力． 11．【2019年高考江蘇卷】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”. （1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”； （2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和． ①

11、求數(shù)列{bn}的通項公式； ②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值． 【答案】（1）見解析；（2）①bn=n；②5. 【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此數(shù)列為“M—數(shù)列”. （2）①因為，所以． 由，得，則. 由，得， 當時，由，得， 整理得． 所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n. ②由①知，bk=k，. 因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0. 因為ck≤bk≤ck+1，所

12、以，其中k=1，2，3，…，m. 當k=1時，有q≥1； 當k=2，3，…，m時，有． 設(shè)f（x）=，則． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x） 極大值 因為，所以． 取，當k=1，2，3，4，5時，，即， 經(jīng)檢驗知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 綜上，所求m的最大值為5． 【名師點睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化

13、歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力． 12．【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列． （I）求數(shù)列的通項公式； （II）記證明： 【答案】（I），；（II）證明見解析. 【解析】（I）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得 ， 解得． 從而． 所以， 由成等比數(shù)列得 ． 解得． 所以． （II）． 我們用數(shù)學(xué)歸納法證明． （i）當n=1時，c1=0<2，不等式成立； （ii）假設(shè)時不等式成立，即． 那么，當時， ． 即當時不等式也成立． 根據(jù)（i）和（ii），不等式對任意成立． 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比

14、數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力. 13．【四川省峨眉山市2019屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項和等于 A．66 B．132 C．66 D． 32 【答案】D 【解析】因為，是方程的兩根， 所以， 又，所以， ，故選D. 【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項，數(shù)列的求和公式，屬于中檔題. 14．【四川省百校2019年高三模擬沖刺卷數(shù)學(xué)試題】定義在[0,+∞)上的函數(shù)fx滿足：當0≤x<2時，fx=2x-x2；當x≥2時，fx=3fx-2.記函數(shù)fx的極大值點從小到大依

15、次記為a1,a2,?,an,?,并記相應(yīng)的極大值為b1,b2,?,bn,?,則a1b1+a2b2+?+a20b20的值為 A．19×320+1 B．19×319+1 C．20×319+1 D．20×320+1 【答案】A 【解析】由題意當0≤x<2時，,極大值點為1，極大值為1， 當x≥2時，.則極大值點形成首項為1公差為2 的等差數(shù)列，極大值形成首項為1公比為3 的等比數(shù)列， 故an=2n-1.,bn=3n-1,故anbn=2n-13n-1， 設(shè)S=a1b1+a2b2+?+a20b20=1?1+3?31+5?32+?+39?319， 3S=1?31+3?32+?+39?320

16、， 兩式相減得-2S=1+2(31+32+?+319)-320=1+2×31-3191-3-39?320=-2-38?320 ∴S=19×320+1， 故選：A. 【名師點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合,錯位相減求和,確定an及bn的通項公式是關(guān)鍵,考查計算能力,是中檔題. 15．【福建省2019屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試數(shù)學(xué)試題】數(shù)列an中，a1=2，且，則數(shù)列{1(an-1)2}前2019項和為 A．40362019 B．20191010 C．40372019 D．40392020 【答案】B 【解析】：∵an+an-1=nan-an-1+2（n≥2）， ∴， 整理得：an-

17、12-an-1-12=n， ∴an-12-a1-12=n+n-1+??+2，又a1=2， ∴an-12=nn+12， 可得：1an-12=2nn+1=21n-1n+1． 則數(shù)列1an-12前2019項和為：21-12+12-13+?+12019-12020=21-12020=20191010． 故選：B． 【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題． 16．【內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)試題】《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分

18、比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,個單位,遞減的比例為,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和為石,則“衰分比”與的值分別為 A．　 B．　 C．　 D．　 【答案】A 【解析】設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石, 由題意得, 解得,,． 故選A． 【名師點睛】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用． 17．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，且，記，則數(shù)列的前10項和為______． 【答案】200 【解析】∵，且， ∴

19、， ∵， ∴時，， 兩式相減可得，，（） 即時，即， ∵， ∴數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比均為2， ∴，， ∴， 則數(shù)列，則的前10項和為 . 故答案為200. 【名師點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項公式求解中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題. 18．【廣東省深圳市高級中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月)數(shù)學(xué)試題】在數(shù)列中，，則的值為______． 【答案】1 【解析】因為 所以， , , 各式相加，可得 ， ， 所以，，故答案為1. 【名師點睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項，

20、屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項常見思路為：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列；（3）將遞推關(guān)系變形，利用累加法、累乘法以及構(gòu)造新數(shù)列法求解. 19．【2019北京市通州區(qū)三模數(shù)學(xué)試題】設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的通項公式為_______． 【答案】，. 【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為， 因為，， 所以，解得，所以， 因此，，. 故答案為，. 【名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，熟記等比數(shù)列的通項公式即可，屬于?？碱}型. 20．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的

21、前項和為，等比數(shù)列的前項和為．若，，． （I）求數(shù)列與的通項公式； （II）求數(shù)列的前項和． 【答案】（I）；（II）. 【解析】（I）由，， 則， 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以. 所以. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，即，所以. 所以； （II）， 所以的前項和為 . 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記通項公式、前項和公式即可，屬于?？碱}型. 21．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列的公差是1，且，，成等比數(shù)列． （I）求數(shù)列的通項公式； （II）求數(shù)列的前項和． 【答案】（I）；（II）. 【解析】（I）因為是公差

22、為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列， 所以，即，解得. 所以. （II）， ， 兩式相減得， 所以. 所以. 【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于常考題型． 22．【安徽省1號卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列滿足，且是的等比中項. （I）求數(shù)列的通項公式； （II）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值 【答案】（I）.（II）8. 【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，即， ，，， 是，的等比中項， ，即，解得. 數(shù)列的通項公式為. （II）由（I）得. ， 由，得

23、. 使得成立的最大正整數(shù)的值為. 【名師點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及裂項相消法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題. 23．【重慶一中2019屆高三下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題】已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列. （I）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （II）若是數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和. 【答案】（I）見解析；（II）. 【解析】（I）， ∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列； （II）由題意可得，即，所以，所以， ∴，∴， . 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等差數(shù)列的前n項和的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力. 18