高中數(shù)學 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 2 指數(shù)擴充及其運算性質(zhì) 北師大版必修1

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1、2指數(shù)擴充及其運算性質(zhì)第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)學習目標1.理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，學會根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化.2.了解無理數(shù)指數(shù)冪，理解實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).3.能用實數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡、求值.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學思考知識點一分數(shù)指數(shù)冪由a222(a0)易得a2 ，由此你有什么猜想？答案答案答案當a0，b0時，若ambn，則a (m，n為非零整數(shù)).222nmb梳理梳理分數(shù)指數(shù)冪(1)定義：給定 a，對于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的 b，使得 ，我們把b叫作a的 ，記作b .正實數(shù)正實數(shù)bnammna次冪(2)意義 正分數(shù)指數(shù)冪負分數(shù)指數(shù)冪0的分數(shù)

2、指數(shù)冪前提條件a0，m，n均為正整數(shù)，m，n互素結(jié)論_ _ ，無意義mnamna1mna0mn0mn0思考知識點二無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，課本中是如何用有理數(shù)指數(shù)冪來研究無理數(shù)指數(shù)冪的？答案答案答案隨著精確度越高，無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值都無限趨近于同一個數(shù)，這個數(shù)即為實數(shù).梳理梳理無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪a(a0，是無理數(shù))是一個確定的正實數(shù).至此，指數(shù)冪a的指數(shù)取值范圍擴充為R.思考1知識點三實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在實數(shù)指數(shù)冪ax中，為什么要規(guī)定a0?答案答案答案把指數(shù)擴大為全體實數(shù)后，若a0.12梳理梳理一般地，在研究實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)時，約定底數(shù)為大于零的實數(shù).

3、思考2初中，我們知道a0，m0，m，n為任意實數(shù)時，上式還成立嗎？答案梳理梳理一般地，當a0，b0時，有：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.思考知識點四實數(shù)指數(shù)冪的化簡答案梳理梳理實數(shù)指數(shù)冪的化簡中，先把根式、分式都化為實數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡.題型探究命題角度命題角度1分數(shù)指數(shù)冪化根式分數(shù)指數(shù)冪化根式例例1用根式的形式表示下列各式(x0，y0).(1)；解答類型一根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化(2).25x53x實數(shù)指數(shù)冪的化簡與計算中，分數(shù)指數(shù)冪形式在應用上比較方便.而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范

4、圍，故分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化是學習的重點內(nèi)容，要切實掌握.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1用根式表示 (x0，y0).解答2132xy221332121xyyx命題角度命題角度2根式化分數(shù)指數(shù)冪根式化分數(shù)指數(shù)冪例例2把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，其中a0，b0.解答23231.aa65.a解答1432134424.b aab反思與感悟mnamna跟蹤訓練跟蹤訓練2把下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪.解答1177636622128 222(2)2.解解解解1331322224().a aa aaaa解答21133.bb解解3591324922533335352555111111.()()()xxxxxxxx

5、 xx例例3計算下列各式(式中字母都是正數(shù)).類型二運用指數(shù)冪運算公式化簡求值解答(2)解答211511336622(2)(6)(3)a ba ba b；(3)解答111222.mmmm111222mmmm1111222221122().mmmmmm一般地，進行指數(shù)冪運算時，可按系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計算；化負指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分數(shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，可以達到化繁為簡的目的.反思與感悟解答解解原式1111131(1)()36623334424481)2(2)(3)223112.(22+解答(2)化簡：21321111362515()()46xyxyx y；2132

6、1111362515()()46xyx yx y21111()(1)()33226xy 110662424.x yy解答例例4已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值.類型三運用指數(shù)冪運算公式解方程解答解解方法一a0，b0，又abba，199ababaa，方法二abba，b9a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴展到有理數(shù)乃至實數(shù)，給運算帶來了方便，我們可以借助指數(shù)運算法則輕松對指數(shù)進行變形，以達到我們代入、消元等目的.反思與感悟解答解解由67x33，得673 ，由603y81得6033 ，3x4y433yx當堂訓練1.化簡 的值為A.2 B

7、.4C.6 D.8答案234512382.25 等于A.25 B.C.5 D.答案23451123.用分數(shù)指數(shù)冪表示 (ab)為A.(ab)B.(ba)C.(ab)D.(ab)答案2345112123223 4.()4等于A.a16 B.a8C.a4 D.a2答案234515.計算 的結(jié)果是A.32 B.16C.64 D.128答案234512 12 2 242規(guī)律與方法1.指數(shù)冪的一般運算步驟是：有括號先算括號里面的；無括號的先做指數(shù)運算，負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用指數(shù)的運算性質(zhì).2.指數(shù)冪的運算原則是：一般先轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪，然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算，在將根式化為分數(shù)指數(shù)冪的過程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運用運算性質(zhì)準確求解.本課結(jié)束