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1、專題能力訓練13 空間幾何體
一、能力突破訓練
1.(2018全國Ⅲ,文3) 中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來,構件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是( )
2.如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是( )
A.17π B.18π
C.20π D.28π
3.(2019陜西西安3月聯(lián)考,8)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示
2、,一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿該正三棱柱的表面繞行兩周到達頂點A1,則該螞蟻走過的最短路徑為( )
A.193 B.25 C.2193 D.31
4.(2019福建泉州質(zhì)檢,10)兩個圓錐和一個圓柱分別有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一球面上.若圓柱的側面積等于兩個圓錐的側面積之和,且該球的表面積為16π,則圓柱的體積為( )
A.2π B.8π3 C.6π D.8π
5.(2019山東泰安二模,8)某簡單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的所有頂點都在球O的球面上,則球O的表面積是( )
A.8π B.123π C.12π D.48π
6.圓柱被一個平面截去一
3、部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=( )
A.1
B.2
C.4
D.8
7.(2019山東臨沂質(zhì)檢改編)某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中的虛線為半圓),則該幾何體的體積為 .?
8.(2019天津,文12)已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側棱長均為5.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為 .?
9.如圖,在多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平
4、面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為 .?
10.(2019東北三省四市一模,15)我國古代數(shù)學名著《九章算術·商功》中闡述:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗之以棊,其形露矣.”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,對該幾何體有如下描述:
①四個側面都是直角三角形;②最長的側棱長為26;
③四個側面中有三個側面是全等的直角三角形;④外接球的表面積為24π.其中正確的描述的序號為 .?
11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C
5、1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
二、思維提升訓練
12.一塊邊長為6 cm的正方形鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置.若其正視圖為等腰直角三角形,則該容器的體積為( )
A.126 cm3 B.46 cm3
C.272 cm3 D.9
6、2 cm3
13.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個面中最大面的面積為( )
A.1 B.52 C.6 D.23
14.已知一個四面體的頂點都在球面上,它們的正視圖、側視圖、俯視圖都是下圖,圖中圓內(nèi)有一個以圓心為中心,邊長為1的正方形,則這個四面體的外接球的表面積是( )
A.π B.3π C.4π D.6π
15.(2019湖北武漢調(diào)研,15)已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為3,外接球的表面積為16π,則正三棱錐P-ABC的體積為 .?
16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二
7、面角D-AC-B(如圖②),并且點D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.
(1)證明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問:當球的體積最大時,球的半徑是多少?
專題能力訓練13 空間幾何體
一、能力突破訓練
1.A 解析根據(jù)三視圖原則,從上往下看,看不見的線畫虛線,則A正確.
2.A 解析由三視圖可知,該幾何體是球截去18后所得幾何體,則78×4π3×R3=28π3,解得R=2,
所以它的表面積為78×4πR2+34×πR2=14π+3π=17π.
3.B 解析將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側棱展開,如圖所示.在展開圖中,最短距離是6個矩形拼成的大矩形對
8、角線的長度,也即為三棱柱的側面上所求距離的最小值.由已知求得正三棱柱底面三角形的邊長為2332=4,所以大矩形的長等于4×6=24,寬等于7,由勾股定理求得d=242+72=25.
4. C 解析設球的半徑為R,則4πR2=16π,解得R=2.
如圖,設圓錐的高AO1=x,底面半徑O1C=y,
則圓錐的母線長AC=x2+y2,圓柱的高為4-2x.
依題意,得
(2-x)2+y2=22,2π·y·(4-2x)=2×12×2π·y·x2+y2,解得x=1,y=3.
所以圓柱的體積V=S·h=π·y2·(4-2x)=6π.
5.C 解析由三視圖還原幾何體,如圖所示,可知該幾何體
9、為直三棱柱,底面為等腰直角三角形,直角邊長為2,側棱長為2.
把該三棱柱補形為正方體,則正方體的對角線長為22+22+22=23.
所以該三棱柱外接球的半徑為3.
故球O的表面積是4π×(3)2=12π.
6.B 解析由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個圓柱及一個半球拼接而成的.其表面積由一個矩形的面積、兩個半圓的面積、圓柱的側面積的一半及一個球的表面積的一半組成.
∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2
=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.
7.8-π3 解析由三視圖知,該幾何體為四棱錐,其中挖
10、去一個半圓錐,如圖所示.
所以體積V=V四棱錐-V半圓錐
=13×2×2×2-12×13π×12×2=8-π3.
8.π4 解析由底面邊長為2,可得OC=1.
設M為VC的中點,
則O1M=12OC=12,
O1O=12VO,
VO=VC2-OC2=2,
∴O1O=1.
V圓柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π4.
9.4 解析(方法一:分割法)幾何體有兩對相對面互相平行,
如圖,過點C作CH⊥DG于H,連接EH,即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.
由題意,知
V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD
=12
11、×2×1×2=2,
V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=12×2×1×2=2.
故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=2+2=4.
(方法二:補形法)因為幾何體有兩對相對面互相平行,
如圖,將多面體補成棱長為2的正方體,顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半.
又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG=23=8,
故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=12×8=4.
10.①②④ 解析由三視圖還原原幾何體,如圖所示,可知該幾何體為四棱錐,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD為矩形,AB=2,BC=4,則四個側面都是直角三角形,故①正確;
最長側
12、棱為PC,長為26,故②正確;
由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,則四個側面均不全等,故③錯誤;
把四棱錐補形為長方體,則其外接球的半徑為12PC=6,其表面積為4π×(6)2=24π,故④正確.
11.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.
(2)作EM⊥AB,垂足為M,
則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,
所以其體積的比值為9779也正確.
二、思維提升訓練
12.D 解析如圖(
13、2),△PMN為該四棱錐的正視圖,由圖(1)可知,PM+PN=6cm,且PM=PN.
由△PMN為等腰直角三角形,得MN=32cm,PM=3cm.
設MN的中點為O,則PO⊥平面ABCD,PO=12MN=322cm,
故VP-ABCD=13×(32)2×322=92(cm3).故選D.
13.D 解析由題意,得該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD,如圖,其最大面的表面是邊長為22的等邊三角形,其面積為34×(22)2=23.
14.B 解析由三視圖可知,該四面體是一個正方體的內(nèi)接正四面體,所以此四面體的外接球的直徑為正方體的對角線的長,為3,
所以此四面體的外接球的表面積
14、為4π×322=3π.
15.934 解析設外接球的半徑為r,則16π=4πr2,解得r=2.
設三棱錐P-ABC的高為h,點P在底面的投影為點H,則OP=r=2,OA=r=2,OH=h-2,底面三角形的外接圓半徑為AH,根據(jù)正弦定理得3sin60°=23,得外接圓的半徑為3.
在△OAH中,(h-2)2+3=4,解得h=1(舍去)或h=3.
所以V=13×3×3×3×32×12=934.
16. (1)證明設D在平面ABC內(nèi)的投影為H,則H在AB上,連接DH,如圖,
則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC
15、.
又AD⊥DC,DC∩BC=C,
所以AD⊥平面DBC.
(2)解當球的體積最大時,易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設球的半徑為R,球心為O,
則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6.
過D作DG⊥AC于點G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC.
易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=12×4×374=372.
在△DAB和△BCD中,
因為AD=BC,AB=DC,DB=DB,
所以△DAB≌△BCD,
故S△DBC=372,VD-ABC=13×6×374=372.
則R36+327+6+327=372,于是(4+7)R=327,所以R=372×(4+7)=47-76.
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