（浙江專用）2020高考數(shù)學二輪復習 專題六 計數(shù)原理與古典概率 第1講 計數(shù)原理、二項式定理專題強化訓練

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1、第1講 計數(shù)原理、二項式定理 專題強化訓練 [基礎達標] 1．(2019·金華十校期末調研)在(x2－4)5的展開式中，含x6的項的系數(shù)為(　　) A．20　　　　B．40　　　　C．80　　　　D．160 解析：選D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r， 令10－2r＝6，解得r＝2， 所以含x6的項的系數(shù)為(－4)2C＝160. 2．(2019·廣州綜合測試(一))四個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有人同時拋出自己的硬幣．若落在圓桌上時硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續(xù)坐著．那么，沒有相鄰的兩個人

2、站起來的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.拋四枚硬幣，總的結果有16種，“沒有相鄰的兩個人站進來”記為事件A，可分為三類：一是沒有人站起來，只有1種結果；二是1人站起來，有4種結果；三是有2人站起來，可以是AC或BD，有2種結果．所以滿足題意的結果共有1＋4＋2＝7種，P(A)＝.故選B. 3．(2019·杭州市第二次質量預測)將數(shù)字“124 467”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．72 B．120 C．192 D．240 解析：選D.將數(shù)字“124 467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應為偶數(shù)，(1)若末

3、位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以有＝60種情況；(2)若末位數(shù)字為6，同理有＝60種情況；(3)若末位數(shù)字為4，因為有兩個相同數(shù)字4，所以共有5×4×3×2×1＝120種情況．綜上，共有60＋60＋120＝240種情況． 4．(2019·衢州市高三期末考試)若(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項是(　　) A．－40 B．－20 C．40 D．20 解析：選C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1. 所以(2x－)5的通項公式 Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r， 令5－2r＝－1，5－2r＝1.

4、 解得r＝3或2. 所以該展開式中常數(shù)項＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40. 5．某校為了提倡素質教育，豐富學生們的課外生活，分別成立繪畫、象棋和籃球興趣小組，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學生報名參加，每人僅參加一個興趣小組，每個興趣小組至少有一人報名，則不同報名方法有(　　) A．12種 B．24種 C．36種 D．72種 解析：選C.由題意可知，從4人中任選2人作為一個整體，共有C＝6(種)，再把這個整體與其他2人進行全排列，對應3個活動小組，有A＝6(種)情況，所以共有6×6＝36(種)不同的報名方法． 6．(2019·金華市調研考試)若(－)n的展開式中所有項

5、系數(shù)的絕對值之和為1 024，則該展開式中的常數(shù)項是(　　) A．－270 B．270 C．－90 D．90 解析：選C.(－)n的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和等于(＋)n的展開式中所有項系數(shù)之和．令x＝1，得4n＝1 024，所以n＝5.(－)5的通項公式Tr＋1＝C()5－r·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x＋，令＋＝0，解得r＝3，所以展開式中的常數(shù)項為T4＝C·32·(－1)3＝－90，故選C. 7．(2019·合肥市第一次教學質量檢測)已知(ax＋b)6的展開式中x4項的系數(shù)與x5項的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(　　)

6、 A．－1 B．1 C．32 D．64 解析：選D.由二項展開式的通項公式可知x4項的系數(shù)為Ca4b2，x5項的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，選D. 8．(2019·浙江新高考沖刺卷)(x＋－2)3展開式中的常數(shù)項為(　　) A．－8 B．－12 C．－20 D．20 解析：選C.(x＋－2)3展開式中的通項公式Tr＋1＝C(－2)3－r(x＋)r. (x＋)r的通項公式：Tk＋1＝Cxr－k()k＝Cxr－2k， 令r－2k＝0，可得：k＝0＝r，k＝1，r＝2. 所以常數(shù)項

7、＝(－2)3＋C×C×(－2)＝－20. 9．已知(＋ax)5－(＋bx)5的展開式中含x2與x3的項的系數(shù)絕對值之比為1∶6，則a2＋b2的最小值為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：選C.(＋ax)5－(＋bx)5的展開式中含x2項的系數(shù)為C()3a2－C()3b2＝，含x3項的系數(shù)為C()2a3－ C()2b3＝10(a－b)，則由題意，得＝，即|ab|＝6，則a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|ab|＝12，當且僅當|a|＝|b|時取等號． 10．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時搶4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶光，4個紅包中有兩個2

8、元，兩個3元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有(　　) A．35種 B．24種 C．18種 D．9種 解析：選C.若甲、乙搶的是一個2元和一個3元的紅包，剩下2個紅包，被剩下3名成員中的2名搶走，有AA＝12(種)；若甲、乙搶的是兩個2元或兩個3元的紅包，剩下兩個紅包，被剩下的3名成員中的2名搶走，有AC＝6(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，甲、乙兩人都搶到紅包的情況共有12＋6＝18(種)． 11．(2019·諸暨調研)現(xiàn)從男、女共8名學生干部中選出2名男同學和1名女同學分別參加學校的“資源”“生態(tài)”“環(huán)保”三個夏令營活動，已知共有90種不同的方

9、案，那么有男生________人、女生________人． 解析：設男、女同學的人數(shù)分別為m和n，則有即 由于m，n∈N*，則m＝3，n＝5. 答案：3　5 12．(2019·成都市第二次診斷性檢測)在二項式(ax2＋)5的展開式中，若常數(shù)項為－10，則a＝________． 解析：(ax2＋)5的展開式的通項Tr＋1＝C(ax2)5－r×()r＝Ca5－rx10－，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2. 答案：－2 13．(2019·溫州十五校聯(lián)合體期末聯(lián)考)用數(shù)字1、2、3、4、5構成數(shù)字不重復的五位數(shù)，要求數(shù)字1，3不相鄰，數(shù)字2，5相鄰，則這樣的五

10、位數(shù)的個數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析：先把2，5捆挷有2種方法，再把它與4排列有2種排法，此時共有3個空供數(shù)字1、3插入有A＝6種方法，故這樣的五位數(shù)的個數(shù)是2×2×6＝24個． 答案：24 14．已知集合A＝{4}，B＝{1，2}，C＝{1，3，5}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中的點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為________． 解析：不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為CCCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4，1，1三個數(shù)確定的不同點只有3個，故所求的個數(shù)為36－3＝33. 答案：33 15．(2019·浙江東陽中學高三檢測)已知(1－2

11、x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a0＝________；(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________． 解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 觀察：可令x＝0得： (1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，a0＝1. (a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]， 則可令x＝1得：(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 再可令x＝－1得：(1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37

12、＝2 187， 可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1?。? 187 16．(2019·張掖市第一次診斷考試)設f(x)是(x2＋)6展開式中的中間項，若f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：(x2＋)6的展開式中的中間項為第四項， 即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因為 f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以實數(shù)m的取值范圍是[5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) 17．(2019·紹興質量檢測)將標

13、號為1，2，3，4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1，2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為________． 解析：四個籃球中兩個分到一組有C種分法，三個籃球進行全排列有A種分法，標號1，2的兩個籃球分給同一個小朋友有A種分法，所以有CA－A＝36－6＝30種分法． 答案：30 [能力提升] 1．(2019·臺州高三期末考試)已知在(－)n的展開式中，第6項為常數(shù)項，則n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選D.因為第6項為常數(shù)項， 由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6， 可得n－6＝0，解得n＝6.故

14、選D. 2．用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 解析：選D.第一步，先排個位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計數(shù)原理，知有C·A＝72(個)． 3．(2019·惠州市第三次調研考試)(x－2y)5的展開式中x2y3的系數(shù)是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 解析：選A.(x－2y)5展開式的通項為Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝C·()5－r·(－2)r·x5－r·yr，令r＝3，得x2y3的系數(shù)為 C()2·(－2)3＝－20.選A.

15、 4．某班利用班會時間進行個人才藝表演，共有5名同學參加，其中3名女生，2名男生．如果2名男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個出場，那么不同的出場順序的排法種數(shù)為(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 解析：選D.先排3名女生，有A種排法，再從4個空位中選出2個空位排2名男生，有A種排法，所以共有AA＝72(種)排法；若女生甲排在第一個出場，從3個空位中選2個空位排男生，有AA＝12(種)排法．所以滿足條件的出場順序的排法有72－12＝60(種)．故選D. 5．(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解

16、析：選C.法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.故選C. 法二：(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30.故選C. 6．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：選C.因為f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f

17、(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 7．(2019·金華十校期末調研)A、B、C、D、E五個人參加抽獎活動，現(xiàn)有5個紅包，每人各摸一個，5個紅包中有2個8元，1個18元，1個28元，1個0元，(紅包中金額相同視為相同紅包)，則A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 解析：選C.A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況有三類： 即獲獎的四人為：ABCD，ABCE，ABDE， 在每類情況中，獲獎的情況有：C·A＝12種， 所以由分步乘法原理得：A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的情況

18、有：3×12＝36種． 8．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有(　　) A．144個 B．120個 C．96個 D．72個 解析：選B.分兩類進行分析：第一類是萬位數(shù)字為4，個位數(shù)字分別為0，2；第二類是萬位數(shù)字為5，個位數(shù)字分別為0，2，4.當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0，2中任選一個，共有2A個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0，2，4中任選一個，共有CA個偶數(shù)．故符合條件的偶數(shù)共有2A＋CA＝120(個)． 9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋a

19、5＋…＋a11)等于(　　) A．27 B．28 C．7 D．8 解析：選C.取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，① 取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，② ①與②兩式左、右兩邊分別相減得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7. 10．從8名網絡歌手中選派4名同時去4個地區(qū)演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，則不同的選派方案共有(　　) A．240種 B．360種 C．480種

20、 D．600種 解析：選D.分兩步，第一步，先選4名網絡歌手，又分兩類，第一類，甲去，則乙一定去，丙一定不去，有C＝10種不同選法，第二類，甲不去，則乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C＝15種不同選法，所以不同的選法有10＋15＝25(種)．第二步，4名網絡歌手同時去4個地區(qū)演出，有A＝24種方案．由分步乘法計數(shù)原理知不同的選派方案共有25×24＝600(種)． 11．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝________． 解析：(1＋x)5中含有x與x2的項為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，所以x2的系數(shù)為10＋5a＝5， 所以a＝－1. 答案：

21、－1 12．(2019·寧波四校聯(lián)考(二))甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有________種坐法． 解析：一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座．因為要求每人左右均有空座，所以在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A＝20種坐法． 答案：20 13．(2019·杭州市高考二模)若(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n＝________；展開式中的常數(shù)項是________． 解析：因為(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為2n＝64，則n＝6；根據(jù)(2x－)n＝(2x－)6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(

22、－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r， 令6－3r＝0，求得r＝2，可得展開式中的常數(shù)項是C·24＝240. 答案：6　240 14．(2019·浙江東陽中學高三期中檢測)用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，則組成的偶數(shù)的個數(shù)是________；恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)是________． 解析：由五個數(shù)組成五位偶數(shù)，可分類個位數(shù)放0，2，4；當個位是0時，有A＝24種，當個位是2時，有3A＝18種，當個位是4時與個位是2時相同，則共有24＋36＝60.當1和3兩個奇數(shù)夾著0時，把這三個元素看做一個整體，和

23、另外兩個偶數(shù)全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A＝12種，1和3兩個奇數(shù)夾著2時，同前面類似，只是注意0不能放在首位，共有2CA＝8，當1和3兩個奇數(shù)夾著4時，也有同樣多的結果．根據(jù)分類加法原理得到共有12＋16＝28種結果． 答案：60　28 15．(2019·貴陽市監(jiān)測考試)若直線x＋ay－1＝0與2x－y＋5＝0垂直，則二項式的展開式中x4的系數(shù)為________． 解析：由兩條直線垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二項式為，其通項公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二項式的展開式中x4的系數(shù)

24、為23C＝80. 答案：80 16．(2019·嘉興市一中高考適應性考試)電影院一排10個位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有________種． 解析：先排7個空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個空位符合條件，考慮三人的順序，將3人插入6個空位中，則共有1×A＝120種情況，由于甲必須坐在三人中間，則有符合要求的坐法有×120＝40種． 答案：40 17．規(guī)定C＝，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C＝1，這是組合數(shù)C(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣，則C＝________；若x>0，則x＝________時，取到最小值，該最小值為________． 解析：由規(guī)定：C＝＝－680，由＝＝. 因為x>0，x＋≥2，當且僅當x＝時，等號成立， 所以當x＝時，得最小值. 答案：－680　　 - 9 -