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1、考點(diǎn)規(guī)范練22 三角恒等變換
一、基礎(chǔ)鞏固
1.2sin47°-3sin17°cos17°=( )
A.-3 B.-1 C.3 D.1
答案D
解析原式=2×sin47°-sin17°cos30°cos17°
=2×sin(17°+30°)-sin17°cos30°cos17°
=2sin30°=1.故選D.
2.已知2sin 2α=1+cos 2α,則tan 2α=( )
A.43 B.-43 C.43或0 D.-43或0
答案C
解析因?yàn)?sin2α=1+cos2α,
所以2sin2α=2cos2α.
所以2cosα(
2、2sinα-cosα)=0,
解得cosα=0或tanα=12.
若cosα=0,則α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,
所以tan2α=0.
若tanα=12,則tan2α=2tanα1-tan2α=43.
綜上所述,故選C.
3.已知函數(shù)f(x)=3sin ωxcos ωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期為π2,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位后,得到的函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=π8,則φ的值不可能為( )
A.5π24 B.13π24 C.17π24 D.23π24
答案B
解析∵f(x)=3sinωxcosωx+3cos2ωx
=
3、32sin2ωx+3·1+cos2ωx2
=3sin2ωx+π6+32,
∴2π2ω=π2,即ω=2,∴f(x)=3sin4x+π6+32.
平移后的函數(shù)為g(x)
=3sin4(x+φ)+π6+32
=3sin4x+4φ+π6+32.
由題意,得4·π8+4φ+π6=kπ+π2,k∈Z,
解得φ=kπ4-π24,k∈Z,故選B.
4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間分別為( )
A.π,[0,π] B.2π,-π4,3π4
C.π,-π8,3π8 D.2π,-π4,π4
答案C
解析由f(x)=sin2x+si
4、nxcosx
=1-cos2x2+12sin2x
=12+2222sin2x-22cos2x
=12+22sin2x-π4,
則T=2π2=π.
又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∈Z),
∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
故選C.
5.已知5sin 2α=6cos α,α∈0,π2,則tan α2=( )
A.-23 B.13 C.35 D.23
答案B
解析由題意,知10sinαcosα=6cosα,又α∈0,π2,
∴sinα=35,cosα=45,
∴tanα2=sinα2cosα2=2sin2α22sinα2cosα
5、2
=1-cosαsinα=1-4535=13.
6.已知tanα+π4=-12,且π2<α<π,則sin2α-2cos2αsinα-π4等于( )
A.255 B.-3510 C.-255 D.-31010
答案C
解析sin2α-2cos2αsinα-π4=2sinαcosα-2cos2α22(sinα-cosα)=22cosα,
由tanα+π4=-12,得tanα+11-tanα=-12,
解得tanα=-3.
因?yàn)棣?<α<π,所以cosα=-1010.
所以原式=22cosα=22×-1010=-255.
7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0
6、<φ≤π2的圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π,且在x=π6時(shí)取得最大值2,若f(α)=95,且π6<α<2π3,則sin2α+2π3的值為( )
A.1225 B.-1225 C.2425 D.-2425
答案D
解析由題意知,T=2π,即T=2πω=2π,即ω=1.
又當(dāng)x=π6時(shí),f(x)取得最大值,
即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π3+2kπ,k∈Z.
∵0<φ≤π2,∴φ=π3,
∴f(x)=sinx+π3+1.
∵f(α)=sinα+π3+1=95,可得sinα+π3=45.
∵π6<α<2π3,可得π2<α+π3<π,
∴cosα+π3=-35.
7、∴sin2α+2π3=2sinα+π3·cosα+π3=2×45×-35=-2425.故選D.
8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A= ,b= .?
答案2 1
解析因?yàn)?cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=
2sin2x+π4+1,所以A=2,b=1.
9.(2018江蘇,16)已知α,β均為銳角,且tan α=43,cos(α+β)=-55.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解(1)因?yàn)閠anα=43,tanα=sinαcosα,
所以sinα=43cosα.因?yàn)閟in2α
8、+cos2α=1,
所以cos2α=925,因此cos2α=2cos2α-1=-725.
(2)因?yàn)棣?β為銳角,所以α+β∈(0,π).
又因?yàn)閏osα+β=-55,
所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255,
因此tan(α+β)=-2.
因?yàn)閠anα=43,
所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.
因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.
10.已知函數(shù)f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2(ω>0)的周期為π.
(1)求ω的值;
9、(2)若x∈0,π2,求f(x)的最大值與最小值.
解(1)∵函數(shù)f(x)=sinωx-π6+cosωx-π3-2sin2ωx2=sinωxcosπ6-cosωxsinπ6+cosωxcosπ3+sinωxsinπ3-2·1-cosωx2=3sinωx+cosωx-1=2sinωx+π6-1(ω>0),
∴f(x)的周期為2πω=π,∴ω=2.
(2)∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6.
∴sin2x+π6∈-12,1.
∴f(x)的最大值為1,最小值為-2.
11.已知點(diǎn)π4,1在函數(shù)f(x)=2asin xcos x+cos 2x的圖象上.
(1)求a的值和f(x)的
10、最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解(1)函數(shù)f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.
∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)π4,1,
即1=asinπ2+cosπ2,可得a=1.
∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+π4.
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)由2kπ+π2≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,
可得kπ+π8≤x≤5π8+kπ,k∈Z.
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+π8,5π8+kπ,k∈Z.
∵x∈(0,π),
∴當(dāng)k=0時(shí),可得單調(diào)遞減區(qū)間為π8,5π8.
二、能力提
11、升
12.已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin[2(α+γ)]=3sin 2β,則m=( )
A.-1 B.34 C.32 D.2
答案D
解析∵sin[2(α+γ)]=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],
∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),
即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),
∴tan(α+γ
12、+β)=2tan(α+γ-β),
故m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,故選D.
13.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,則cos(α-β)的值等于( )
A.-12 B.12 C.-13 D.2327
答案D
解析∵α∈0,π2,∴2α∈(0,π).
∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79,
∴sin2α=1-cos22α=429,
又α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,
∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos2αcos(α+β
13、)+sin2αsin(α+β)
=-79×-13+429×223=2327.
14.已知函數(shù)f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1,則f(x)的最小正周期為 ;函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .?
答案π kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
解析f(x)=2sinx+5π24·cosx+5π24-2cos2x+5π24+1
=sin2x+5π12-cos2x+5π12
=2sin2x+5π12cosπ4-cos2x+5π12sinπ4
=2sin2x+5π12-π4=2sin2x+π6.
∴f(x)的最小正周期T=2π
14、2=π.
因此f(x)=2sin2x+π6.
當(dāng)2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),
即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)時(shí),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).
15.已知函數(shù)f(x)=23sinωx+π6cos ωx(0<ω<2),且f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)5π12,32.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,已知gα2=536,求cos2α-π3的值.
解(1)函數(shù)f(x)=23sinωx+π6cosωx
=23sinωx·32+23cosωx·
15、12cosωx
=3sin2ωx+π6+32.
∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)5π12,32,
∴3sin2ω·5π12+π6+32=32,
∴2ω·5π12+π6=kπ,k∈Z,即ω=6k-15.
再結(jié)合0<ω<2,可得ω=1,
∴f(x)=3sin2x+π6+32,故它的最小正周期為2π2=π.
(2)將y=f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=g(x)=3sin2x-π6+32的圖象.
∵gα2=536=3sinα-π6+32,
∴sinα-π6=13,
∴cos2α-π3=1-2sin2α-π6=79.
三、高考預(yù)測(cè)
16.在銳角三角形ABC中,A,B,C為三
16、個(gè)內(nèi)角,且sin 2A=3·sinπ2+A.
(1)求角A的大小;
(2)求sin B+sin C的取值范圍.
解(1)因?yàn)閟in2A=3sinπ2+A,所以2sinAcosA=3cosA,
即(2sinA-3)cosA=0,
又在銳角三角形ABC中,A∈0,π2,故cosA>0,
所以sinA=32,所以A=π3.
(2)因?yàn)锳+B+C=π,
所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
所以sinB+sinC=sinπ3+C+sinC
=32cosC+32sinC=3sinC+π6.
因?yàn)樵阡J角三角形ABC中,A=π3,
所以B+C=2π3,B=2π3-C,
所以0<2π3-C<π2,0
廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練22 三角恒等變換 文
