（2019高考題 2019模擬題）2020高考數學 素養(yǎng)提升練（六）理（含解析）

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1、素養(yǎng)提升練(六) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．(2019·宣城二調)若復數z滿足z(1＋2i)＝3＋i，i為虛數單位，則z的共軛復數＝(　　) A．1 B．1－i C．2 D．1＋i 答案　D 解析　由z(1＋2i)＝3＋i，z＝＝＝＝1－i，∴z的共軛復數為1＋i，故選D. 2．(2019·清遠聯(lián)考)已知集合A＝{x∈R|log2(x＋1)≤2}，B＝{－2，－1,0,1,

2、2,3,4}，則A∩B＝(　　) A．{－1,0,1,2,3} B．{0,1,2,3} C．{1,2,3} D．{0,1,2} 答案　B 解析　由題可知A＝(－1,3]，則A∩B＝{0,1,2,3}．故選B. 3. (2019·瀘州一中模擬)軍訓時，甲、乙兩名同學進行射擊比賽，共比賽10場，每場比賽各射擊四次，且用每場擊中環(huán)數之和作為該場比賽的成績．數學老師將甲、乙兩名同學的10場比賽成績繪成如圖所示的莖葉圖，并給出下列4個結論：①甲的平均成績比乙的平均成績高；②甲的成績的極差是29；③乙的成績的眾數是21；④乙的成績的中位數是18.則這4個結論中，正確結論的個數為(　　)

3、 A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　根據莖葉圖知甲的平均成績大約二十幾，乙的平均成績大約十幾，因此①正確；甲的成績的極差是37－8＝29，②正確；乙的成績的眾數是21，③正確；乙的成績的中位數是＝18.5，④錯誤，故選C. 4．(2019·中衛(wèi)一模)中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人最后一天走的路程為(　　) A．24里 B．12

4、里 C．6里 D．3里 答案　C 解析　記每天走的路程里數為{an}，則{an}為公比q＝的等比數列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×＝6，故選C. 5．(2019·東北三校模擬)已知α是第三象限角，且cos＝，則sin2α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　cos＝?sinα＝－，∵sin2α＋cos2α＝1，α是第三象限角，∴cosα＝－＝－， ∴sin2α＝2sinαcosα＝，故選A. 6．(2019·黃山質檢)已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，則b在a方向上的投影為(　　)

5、 A．1 B．－1 C. D．－ 答案　B 解析　由于a⊥(a＋2b)，故a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2.故b在a方向上的投影為＝＝－1.故選B. 7．(2019·全國卷Ⅰ)函數f(x)＝在[－π，π]的圖象大致為(　　) 答案　D 解析　∵f(－x)＝＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數，排除A. 又f＝＝>1，f(π)＝>0，排除B，C.故選D. 8．(2019·漢中質檢)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，點D為BC的中點，則異面直線AD與A1C所成的角為(　　) A. B. C

6、. D. 答案　B 解析　取B1C1的中點D1，連接A1D1，CD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1，點D為BC的中點，∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是異面直線AD與A1C所成的角，AB＝AC＝，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，顯然△A1D1C是直角三角形， sin∠CA1D1＝＝，∴∠CA1D1＝，故選B. 9．(2019·四川二診)在數列{an}中，已知a1＝1，且對于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，則數列{

7、an}的通項公式為(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝ D．an＝ 答案　D 解析　令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.故選D. 10．(2019·山師附中模擬)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點且與對稱軸垂直的直線與雙曲線交于A，B兩點，△OAB的面積為，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　右焦點設為F，其坐標為(c,0)，令x＝c，代入雙曲線方程可得y＝±b＝

8、±，△OAB的面積為·c·＝bc?＝，可得e＝＝＝＝，故選D. 11．(2019·清華附中模擬)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．8＋4 B．2＋2＋4 C．2＋6 D．2＋4＋2 答案　D 解析　由題意可知，該幾何體的直觀圖如圖： 該幾何體為棱長為2的正方體的一部分，三棱錐A－BCD，三棱錐的表面積為×2×2＋2××2×2＋×(2)2＝2＋4＋2.故選D. 12．(2019·云師附中模擬)已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲線C1是以A，C為焦點，通過B，D兩點且與直線x＋2y－4＝0相切的橢圓，

9、則曲線C1的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　如圖，由題意可得a＝2b(b>0)，則設橢圓方程為＋＝1. 聯(lián)立得4y2－4y＋4－b2＝0. 由Δ＝48－16(4－b2)＝0，解得b＝1.所以曲線C1的方程為＋y2＝1.故選B. 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2019·東北三校模擬)已知x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________． 答案　3 解析　根據約束條件可以畫出可行域，如圖中陰影部分所示： 由z＝3x＋y，可知直線y＝－3

10、x＋z過A(1,0)時，z有最大值為3×1＋0＝3. 14．(2019·朝陽一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x的值為________． 答案　 解析　運行程序，x＝2，n＝1，判斷是，x＝，n＝2，判斷是，x＝，n＝3，判斷否，輸出x＝. 15．(2019·鞍山一中模擬)如下分組的正整數對：第1組為{(1,2)，(2,1)}，第2組為{(1,3)，(3,1)}，第3組為{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4組為{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，則第40組第21個數對為________． 答案　(22,20) 解析　由題意可得第一組的

11、各個數對和為3，第二組各個數對和為4， 第三組各個數對和為5，第四組各個數對和為6， ……， 第n組各個數對和為n＋2，且各個數對無重復數字，可得第40組各個數對和為42， 則第40組第21個數對為(22,20)． 16．(2019·哈三中模擬)函數f(x)＝x2－6x＋4ln x的圖象與直線y＝m有三個交點，則實數m的取值范圍為________． 答案　(4ln 2－8，－5) 解析　由題意得f′(x)＝2x－6＋＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，當x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2，＋

12、∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，∴f(1)＝－5為極大值，f(2)＝4ln 2－8為極小值，∴4ln 2－8

13、sinC－sin(A－B)， 即sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)， 整理得sinB＝2cosAsinB. 又sinB≠0，則cosA＝，則A＝. (2)根據題意，設AB＝t， 又由b＝AC＝2，則AD＝1， 在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cosA＝t2＋1－2×t×1×＝7， 即t2－t－6＝0，解得t＝3或t＝－2(舍去)． 在△ABC中，a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝9＋4－2×3×2×＝7，∴a＝. 18．(本小題滿分12分)(2019·凱里一中模擬)某工廠生產A，B兩種零件，其質量測試按指標劃分，指標大于

14、或等于80 cm的為正品，小于80 cm的為次品．現隨機抽取這兩種零件各100個進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下： 測試指標 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95] A零件 8 12 40 30 10 B零件 9 16 40 28 7 (1)試分別估計A，B兩種零件為正品的概率； (2)生產1個零件A，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產1個零件B，若是正品則盈利60元，若是次品則虧損15元，在(1)的條件下： ①設X為生產1個零件A和一個零件B所得的總利潤，求X的分布列和數學期望； ②求生產5個零件B所

15、得利潤不少于160元的概率． 解　(1)∵指標大于或等于80 cm的為正品，且A，B兩種零件為正品的頻數分別為80和75， ∴A，B兩種零件為正品的概率估計值分別為P(A)＝＝，P(B)＝＝. (2)①由題意知，X的可能取值為－25,35,50,110， P(X＝－25)＝×＝， P(X＝35)＝×＝， P(X＝50)＝×＝， P(X＝110)＝×＝. ∴X的分布列為 X －25 35 50 110 P ∴X的數學期望為E(X)＝(－25)×＋35×＋50×＋110×＝79.25. ②∵生產1個零件B是正品的概率為P(B)＝， 生產5個零件B所

16、產生的正品數Y服從二項分布，即Y～B， 生產5個零件B所得利潤不少于160元，則其正品數大于或等于4件， ∴生產5個零件B所得利潤不少于160元的概率為 P＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝C41＋C5＝. 19．(本小題滿分12分)(2019·全國卷Ⅲ)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2. (1)證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求圖2中的二面角B－CG－A的大?。? 解　(1)證明：由已知得AD∥BE，

17、CG∥BE， 所以AD∥CG， 所以AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面． 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B， 所以AB⊥平面BCGE. 又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)作EH⊥BC，垂足為H. 因為EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC， 所以EH⊥平面ABC. 由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝. 以H為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Hxyz，則 A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)， ＝(1,0，)，＝(2，－1

18、,0)． 設平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 所以可取n＝(3,6，－)． 又平面BCGE的法向量可取m＝(0,1,0)， 所以cos〈n，m〉＝＝. 因此二面角B－CG－A的大小為30°. 20．(本小題滿分12分)(2019·漳州質檢)已知動圓P過點F且與直線y＝－相切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)若A，B是曲線C上的兩個點且直線AB過△AOB的外心，其中O為坐標原點，求證：直線AB過定點． 解　(1)解法一：由題意可知|PF|等于點P到直線y＝－的距離， ∴曲線C是以點F為焦點，以直線y＝－為準線的拋物線，∴曲線C的方程為x

19、2＝y(tǒng). 解法二：設P(x，y)，由題意可知|PF|等于點P到直線y＝－的距離， ∴＝，整理得曲線C的方程為x2＝y(tǒng). (2)設直線AB：y＝kx＋m代入x2＝y(tǒng)， 得2x2－kx－m＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＝2x，y2＝2x，Δ＝k2＋8m>0， x1x2＝－，y1y2＝(2x)(2x)＝4(x1x2)2＝m2， ∵直線AB過△AOB的外心， ∴OA⊥OB，·＝0， ∴－＋m2＝0，∴m＝0或m＝， ∵直線AB不過點O，∴m≠0，∴m＝， ∴直線AB：y＝kx＋，∴直線AB過定點. 21．(本小題滿分12分)(2019·撫順一模)已知函

20、數f(x)＝ln x－ax－3(a≠0)． (1)討論函數f(x)的單調性； (2)若函數f(x)有最大值M，且M>a－5，求實數a的取值范圍． 解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，由已知得f′(x)＝－a， 當a<0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)內單調遞增，無減區(qū)間； 當a>0時，令f′(x)＝0，得x＝， ∴當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增； 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減． (2)由(1)知，當a<0時，f(x)在(0，＋∞)內單調遞增，無最大值， 當a>0時，函數f(x)在x＝取得最大值， 即f(x)max＝f＝ln －4＝

21、－ln a－4， 因此有－ln a－4>a－5，得ln a＋a－1<0， 設g(a)＝ln a＋a－1，則g′(a)＝＋1>0， ∴g(a)在(0，＋∞)內單調遞增， 又g(1)＝0，∴g(a)

22、立極坐標系． (1)求曲線C2的普通方程； (2)若點A，B分別是射線l：θ＝與曲線C1，C2的公共點，求|AB|的最大值． 解　(1)設P(x，y)，M(x′，y′)，∵＝2， ∴ ∵點M在曲線C1上，∴ ∴曲線C1的普通方程為(x′－2)2＋(y′－1)2＝1， ∴曲線C2的普通方程為(x－4)2＋(y－2)2＝4. (2)由得曲線C1的極坐標方程為ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0， 曲線C2的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－4ρsinθ＋16＝0， 由得或 ∴A或A， 由得或 ∴B或B， ∴|AB|的最大值為3. 23．(本小題滿分10分)[選修

23、4－5：不等式選講] (2019·太原二模)已知函數f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)． (1)當a＝時，求不等式f(x)≥1的解集； (2)若?k∈R，?x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求實數a的取值范圍． 解　(1)當a＝時，原不等式為－|x＋1|≥1， ∴或 或 ∴x<－1或－1≤x≤－或x≥， ∴原不等式的解集為∪. (2)由題意得f(x)min≤(|k＋3|－|k－2|)min， ∵f(x)＝－ ∴f(x)min＝f＝－a， ∵－5＝－|(k＋3)－(k－2)|≤|k＋3|－|k－2|， ∴(|k＋3|－|k－2|)min＝－5， ∴－a≤－5，∴a≥2， ∴a的取值范圍是[2，＋∞)． 12