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1、規(guī)范解答集訓(xùn)(一) 三角函數(shù)和解三角形
(建議用時(shí)：40分鐘)
1．(2019·東莞模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且＝.
(1)求角C的大??；
(2)若△ABC的面積為，且＋＝，求c的值．
[解] (1)由題意知＝，
根據(jù)正弦定理得＝，得sin C＝.
∵C是銳角三角形的內(nèi)角，
∴C＝.
(2)因?yàn)镾△ABC＝＝absin C，
∴ab＝4，
又∵＋＝＝，∴a＋b＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝48－12＝36，
∴c＝6.
2．(2019·貴陽(yáng)模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a
2、，b，c，若其面積S＝(a2＋c2－b2)．
(1)求角B；
(2)若b＝2，a＋c＝6，求△ABC的面積．
[解] (1)∵三角形的面積S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsin B＝(a2＋c2－b2)．
即sin B＝×＝×＝cos B，
即tan B＝，即B＝.
(2)∵B＝，b＝2，a＋c＝6，
∴b2＝a2＋c2－2accos B，
即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×＝36－3ac，
得3ac＝24，得ac＝8，
則三角形的面積S＝acsin B＝×8×＝2.
3．(2019·鄭州模擬)如圖，四邊形ABCD中，AC＝BC，AB＝4，∠ABC＝.
(1)求
3、∠ACB；
(2)若∠ADC＝，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為10，求四邊形ABCD的面積．
[解] (1)設(shè)BC＝a，則AC＝a，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即3a2＝42＋a2－2×4×a×，可得a2＋2a－8＝0，
解得a＝2，或a＝－4(舍去)，
所以AB2＝AC2＋BC2，
即∠ACB＝.
(2)由(1)得S△ABC＝·AC·BC＝2.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD的周長(zhǎng)為10，AB＝4，BC＝2，AC＝2，∠ADC＝，所以AD＋CD＝4，
又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，
即12＝AD2＋DC2＋AD·DC
＝
4、(AD＋CD)2－AD·DC，
所以AD·DC＝4，
所以S△ADC＝AD·DC·sin＝，
所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋＝3.
4．(2019·荊州模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos B(acos C＋ccos A)＝b.
(1)求B；
(2)若b＝2，設(shè)A＝α，△ABC的周長(zhǎng)為l，求l＝f(α)的解析式并求f(α)的最大值．
[解] (1)由2cos B(acos C＋ccos A)＝b，可得2cos B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2cos Bsin(A＋C)＝2cos Bsin B＝sin B，
由于
5、sin B≠0，
得cos B＝.
又B∈(0，π)，
所以B＝.
(2)b＝2，由正弦定理＝＝，及A＝α，C＝π－(A＋B)＝－α，
得：＝＝，
∴a＝sin α，c＝sin，
∴△ABC周長(zhǎng)l＝f(α)＝a＋b＋c＝sin α＋2＋sin
＝＋2
＝＋2
＝4＋2
＝4sin＋2，
∵0＜α＜，
∴當(dāng)α＋＝，即α＝時(shí)，lmax＝f＝4＋2＝6.
所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為6.
5．(2019·汕頭模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b，c,2acos B成等差數(shù)列．
(1)求角A；
(2)若a＝，b＝3，D為BC中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．
6、
[解] (1)∵b，c,2acos B成等差數(shù)列，則2c＝b＋2acos B，
由正弦定理得：2×2Rsin C＝2Rsin B＋2×2Rsin Acos B(R為△ABC外接圓半徑)，
∴2sin C＝sin B＋2sin Acos B，
∴2sin(A＋B)＝2sin Acos B＋2cos Asin B＝sin B＋2sin Acos B，
即2cos Asin B＝sin B.
∵sin B≠0，∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴13＝9＋c2－2×3×c×，即c2－3c－4＝0，
∴c＝4，或c＝－1(舍去)，故c＝4.
在△ABC中，cos C＝＝＝，
∴在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝32＋2－2×3××＝，所以AD＝.
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