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1、專題能力訓(xùn)練9 三角變換與解三角形
專題能力訓(xùn)練第24頁 ?
一、能力突破訓(xùn)練
1.若sin α=13,則cos 2α=( )
A.89 B.79 C.-79 D.-89
答案:B
解析:cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.
2.(2019全國Ⅱ,理10)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,則sin α=( )
A.15 B.55 C.33 D.255
答案:B
解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.
∵α∈0,π2,∴cosα>0,sinα>0,
∴2sinα=cosα.
又sin2α+cos
2、2α=1,
∴5sin2α=1,即sin2α=15.
∵sinα>0,∴sinα=55.
故選B.
3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為( )
A.π6 B.π3
C.π6或5π6 D.π3或2π3
答案:D
解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32·cosBsinB,
即cosB=32·cosBsinB,則sinB=32.
∵0
3、10 B.105 C.31010 D.55
答案:C
解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=(2)2+32-2×2×3cosπ4=5,解得AC=5.
由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得sin∠BAC=BC·sin∠ABCAC=3×sinπ45=3×225=31010.
5.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=120°,a=2b,則tan A= .?
答案:32
解析:由正弦定理可得sinA=2sinB,因?yàn)锽=180°-A-120°=60°-A,
所以sinA=2sin(60°-A)
4、,
即sinA=3cosA-sinA,
所以2sinA=3cosA,故tanA=32.
6.(2019浙江,14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD= ,cos∠ABD= .?
答案:1225 7210
解析:如圖所示,
設(shè)CD=x,∠DBC=α,則AD=5-x,∠ABD=π2-α,在△BDC中,由正弦定理得3sinπ4=xsinα=32?sinα=x32.在△ABD中,由正弦定理得5-xsin(π2-α)=4sin3π4=42?cosα=5-x42.由sin2α+cos2α=x218+(5-x)232=
5、1,解得x1=-35(舍去),x2=215?BD=1225.在△ABD中,由正弦定理得0.8sin∠ABD=4sin(π-π4)?sin∠ABD=210?cos∠ABD=7210.
7.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.
(1)求B的大小;
(2)求2cos A+cos C的最大值.
解:(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.
又因?yàn)?
6、.
因?yàn)?
7、2)因?yàn)閍=23,A=π3,
所以a2=b2+c2-2bccosA,
整理得12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
所以S△ABC=12bcsinA≤12×12×32=33.
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),△ABC的面積有最大值33.
9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.
(1)證明:B-A=π2;
(2)求sin A+sin C的取值范圍.
(1)證明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A.
又B為鈍角,因此π2+A∈π2,π,
故B=π2+A,即
8、B-A=π2.
(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.
因?yàn)?
9、解:(1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.
由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z;
由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);單調(diào)遞減區(qū)間是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).
(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,
由題意知A為銳角,所以cosA=32.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得1+3bc=b2+c2≥2b
10、c,
即bc≤2+3,且當(dāng)b=c時(shí)等號成立.
因此12bcsinA≤2+34.
所以△ABC面積的最大值為2+34.
二、思維提升訓(xùn)練
11.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2等于( )
A.33 B.-33 C.539 D.-69
答案:C
解析:∵cosπ4+α=13,0<α<π2,∴sinπ4+α=223.
又cosπ4-β2=33,-π2<β<0,
∴sinπ4-β2=63,
∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+α·cosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2
=13×33+
11、223×63=539.
12.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當(dāng)3sin A-cosB+π4取最大值時(shí),角A的大小為( )
A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3
答案:A
解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.
因?yàn)?0,從而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,則C=π4,
所以B=3π4-A.
于是3sinA-cosB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6.
因?yàn)?
12、而當(dāng)A+π6=π2,
即A=π3時(shí),2sinA+π6取最大值2.故選A.
13.在△ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點(diǎn)D,若C=π3,BC=8,BD=7,則△ABC的面積為 .?
答案:203或243
解析:在△CDB中,設(shè)CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cosπ3,
即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.
當(dāng)t=3時(shí),CA=10,△ABC的面積S=12×10×8×sinπ3=203;
當(dāng)t=5時(shí),CA=12,△ABC的面積S=12×12×8×sinπ3=243.
故△ABC的面積為203或243.
14.已知sinπ4+αsinπ4-α
13、=16,α∈π2,π,則sin 4α的值為 .?
答案:-429
解析:因?yàn)閟inπ4+α
=sinπ2-π4-α=cosπ4-α,
所以sinπ4+αsinπ4-α
=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α
=12cos2α=16,所以cos2α=13.
因?yàn)棣?<α<π,所以π<2α<2π.
所以sin2α=-1-132=-223.
所以sin4α=2sin2αcos2α=-2×229=-429.
15.已知銳角三角形ABC的外接圓的半徑為1,A=π4,則△ABC的面積的取值范圍為 .?
答案:1,2+12
解析:因?yàn)殇J角三角形ABC的外
14、接圓的半徑為1,A=π4,
所以由正弦定理可得,bsinB=csinC=a22=2,可得b=2sinB,c=2sin3π4-B,
所以S△ABC=12bcsinA
=12×2sinB×2sin3π4-B×22
=sinB(cosB+sinB)
=22sin2B-π4+12,
因?yàn)锽,C為銳角,可得π4
15、狀;
(2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范圍.
解:(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,
∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,∵π3π(舍去).
若B+2C=π,又A+B+C=π,
∴A=C,∴△ABC為等腰三角形.
(2)∵|BA+BC|=2,
∴a2+c2+2accosB=4.
又由(1)知a=c,∴cosB=2-a2a2.
而cosB=-cos2C,∴12
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