2020屆高考數(shù)學二輪復習 瘋狂專練20 新定義類創(chuàng)新題（文）

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1、瘋狂專練20 新定義類創(chuàng)新題 一、選擇題 1．若，則，就稱是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴關系的集合的個數(shù)是（） A．1 B．3 C．7 D．31 2．如圖所示的Venn圖中，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，則為（） A． B． C．或 D．或 3．對于復數(shù)，若集合具有性質“對任意，必有”，則當時，（） A． B． C． D． 4．定義一種新運算：，已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（） A． B． C． D． 5．設函數(shù)在內有定義，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)， 取函數(shù)，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（） A．

2、B． C． D． 6．約定與是兩個運算符號，其運算法則如下：對任意實數(shù)，，有：，，設，，用列舉法表示集合為（） A． B． C． D． 7．設為復數(shù)集的非空子集．若對任意，，都有，，，則稱為封閉集． 下列命題： ①集合為整數(shù)，為虛數(shù)單位為封閉集； ②若為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無限集； ④若為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集． 上面命題中真命題共有哪些？（） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 8．定義：對于一個定義域為的函，若存在兩條距離為的直線和，使得時，恒有，則稱在內有一個寬度為的通道．下列函數(shù)： ①；②；③；④． 其中有一個寬度為的通道的函數(shù)

3、的序號為（） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 9．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到世紀．直到年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)多年的數(shù)學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與．且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，不可能成立的是（） A．沒有最大元素，有一個最小元素 B．沒有最大元素，也沒有最小元素 C．有一個最大元素，有一個最小元素 D．

4、有一個最大元素，沒有最小元素 10．如果定義在上的函數(shù)滿足：對于任意，都有， 則稱為“函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③； ④，其中“函數(shù)”的個數(shù)是（） A． B． C． D． 11．設函數(shù)的定義域為，如果，存在唯一的，使（為常數(shù)）成立． 則稱函數(shù)在上的“均值”為．已知四個函數(shù)： ①；②；③；④上述四個函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為的函數(shù)的序號是（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 12．定義：如果函數(shù)的導函數(shù)為，在區(qū)間上存在使得，，則稱為區(qū)間上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D． 二、填空題

5、 13．對于任意兩個正整數(shù)，定義某種運算“※”如下：當都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，※；當中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，※．則在此定義下，集合※中的元素個數(shù)為． 14．若數(shù)列滿足，，為非零數(shù)列，則稱數(shù)列為“放飛”數(shù)列．已知正項數(shù)列為“放飛”數(shù)列，且，則的最小值是． 15．如果對定義在上的函數(shù)，對任意兩個不相等的實數(shù)，， 都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”． 給出下列函數(shù)①；②；③；④． 以上函數(shù)是“函數(shù)”的所有序號為． 16．在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為；當是原點時，定義的“伴隨點”為它自身，平面曲線上所有點的“伴隨點”所構成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題

6、： ①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點； ②單位圓的“伴隨曲線”是它自身； ③若曲線關于軸對稱，則其“伴隨曲線”關于軸對稱； ④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線． 其中的真命題是（寫出所有真命題的序號）． 答 案 與解析 一、選擇題 1．【答案】B 【解析】由已知條件得，可以單獨存在于伙伴關系中，和同時存在于伙伴關系中， 所以具有伙伴關系的元素組是， 所以具有伙伴關系的集合有個：，，． 2．【答案】D 【解析】因為，， ，， 所以或． 3．【答案】B 【解析】∵，由集合中元素的互異性可知，當時，，， ∴， 由“對任意，必有

7、”知， ∴，或，，∴． 4．【答案】D 【解析】由題可知，，畫出圖象如圖， 當函數(shù)恰有兩個零點， 即函數(shù)有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍為． 5．【答案】C 【解析】依題意可知，當，時， ， 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，故選C． 6．【答案】C 【解析】根據(jù)運算法則，得①， 當時，或（不符合題意舍去）； 當時，，把，分別代入①式，得或， 故． 7．【答案】B 【解析】①成立，因為集合里的元素，不管是相加，還是相減，還是相乘，都是復數(shù)， 并且實部，虛部都是整數(shù)； ②當時，所以成立； ③不成立，舉例：就是封閉集，但是有限集； ④舉例，

8、，，集合就不是封閉集，所以不成立． 8．【答案】D 【解析】①當時，，且函數(shù)單調遞增，故不存在寬度為的通道； ②，故存在和，滿足有一個寬度為的通道； ③，故存在和，滿足有一個寬度為的通道； ④，故存在和，滿足有一個寬度為的通道； 故有一個寬度為的通道的函數(shù)的序號為②③④． 9．【答案】C 【解析】A正確，例如是所有小于的有理數(shù)，是所有不小于的有理數(shù)； B正確，如是所有負的有理數(shù)，零和平方小于的正有理數(shù)，是所有平方大于的正有理數(shù)，顯然和的并集是所有的有理數(shù)，因為平方等于的數(shù)不是有理數(shù)； D正確，例如是所有不大于的有理數(shù)，是所有大于的有理數(shù)； C錯，有最大元素，且有最小元素是

9、不可能的， 因為這樣就有一個有理數(shù)不存在于和兩個集合中，與和的并集是所有的有理數(shù)矛盾． 10．【答案】C 【解析】∵對于任意給定的不等實數(shù)，， 不等式恒成立， ∴不等式等價為恒成立， 即函數(shù)是定義在上的增函數(shù)． ①；，則函數(shù)在定義域上不單調； ②；，函數(shù)單調遞增，滿足條件； ③為增函數(shù)，滿足條件； ④，當時，函數(shù)單調遞增，當時，函數(shù)單調遞減，不滿足條件， 綜上滿足“函數(shù)”的函數(shù)為②③，一共個． 11．【答案】B 【解析】①對于函數(shù)，定義域為， 設，由，得，所以， 所以函數(shù)是定義域上的“均值”為的函數(shù)； ②對于函數(shù)，定義域為， 設，由，得， 當時，，不存在實數(shù)

10、的值，使， 所以該函數(shù)不是定義域上均值為的函數(shù)； ③對于函數(shù)，定義域是， 設，得，則， 所以該函數(shù)是定義域上的均值為的函數(shù)； ④對于函數(shù)，定義域為， 設，由，得， 當，，不存在唯一的實數(shù)，使得， 所以函數(shù)在其定義域上不是均值為的函數(shù)． 故滿足所在定義域上“均值”為的函數(shù)是的序號是①③． 12．【答案】D 【解析】∵函數(shù)，∴， ∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)， ∴區(qū)間上存在， 滿足，∴， ∴，即方程在區(qū)間有兩個解， 令，∴，解得． ∴實數(shù)的取值范圍是，故選D． 二、填空題 13．【答案】 【解析】因為，，，，，，，，， 集合中的元素是有序數(shù)對，所

11、以集合中的元素共有個． 14．【答案】 【解析】依題意可得，則數(shù)列為等比數(shù)列． 又，則． ，當且僅當，即該數(shù)列為常數(shù)列時取等號． 15．【答案】①③ 【解析】因為對任意兩個不相等的實數(shù)，，都有， 即總有不等式恒成立， 即為函數(shù)是定義在上的增函數(shù)， 對于①，由于與均為上增函數(shù)，則函數(shù)在為增函數(shù)； 對于②，明顯先減后增，不符合； 對于③，因為在上恒成立，則在為增函數(shù)； 對于④，當時為減函數(shù)，當為增函數(shù)，不符合， 故選①③． 16．【答案】②③ 【解析】①設的坐標，伴隨點， 的伴隨點橫坐標為，同理可得縱坐標為， 故，錯誤； ②設單位圓上的點的坐標為， 則的伴隨點的坐標為， 所以也在單位圓上，即：點是點延順時針方向旋轉，正確； ③設曲線上點的坐標，其關于軸對稱的點也在曲線上， 所以點的伴隨點，點的伴隨點， 與關于軸對稱．正確； ④反例：例如這條直線，則，，，而這三個點的伴隨點分別是，，，而這三個點不在同一直線上． 下面給出嚴格證明： 設點在直線，點的伴隨點為， 則，解得． 代入直線方程可知：， 化簡得：， 當時，是一個常數(shù)，的軌跡是一條直線； 當時，不是一個常數(shù)，的軌跡不是一條直線． 所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線，錯誤． 11