（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十四章 第二節(jié) 排列與組合課時作業(yè) 蘇教版

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1、第二節(jié)　排列與組合 課時作業(yè)練 1.(2018江蘇海安高級中學(xué)期中)利用排列數(shù)公式證明:1n+1An+1m+1=1n-mAnm+1. 證明　左邊=1n+1An+1m+1=1n+1×(n+1)!(n-m)!=n!(n-m)!=Anm, 右邊=1n-mAnm+1=1n-m×n!(n-m-1)!=n!(n-m)!=Anm,所以原命題得證. 2.(2019江蘇無錫高三模擬)平面內(nèi)有9個點,其中有4個點共線,其余任何3點不共線,問: (1)過任意兩點作一條直線,這樣的直線有多少條? (2)能確定多少條射線? (3)能確定多少個不同的圓? 解析　(1)共線中的4點任取兩點構(gòu)成同一直線,有

2、1條; 在共線的4點中任取1點,從共線之外的5個點中任選1個點,可構(gòu)成4×5=20條; 在共線的4點中不取,從共線之外的5個點中任選2個點,可構(gòu)成C52=10條, 故一共有1+20+10=31條. (2)任取兩點都有2條射線,所以共有A92=72條射線. (3)從共線之外的5個點中任選3個,故有C53=10個圓, 從共線的4點中任選1個,從共線之外的5個點中任選2個,故有C41C52=40個圓, 從共線的4點中選2個,從共線之外的5個點中任選1個,故有C42C51=30個圓, 故能確定10+40+30=80個圓. 3.(2019南京、鹽城高三模擬)已知n∈N*,且n≥4,數(shù)列

3、T:a1,a2,…,an中的每一項均在集合M={1,2,…,n}中,且任意兩項不相等. (1)若n=7,且a2ak+1,求所有符合條件的數(shù)列T的個數(shù). 解析　(1)當(dāng)n=7時,M={1,2,…,7}. 則數(shù)列T的個數(shù)為C72×C22=42. (2)當(dāng)k=1時,則a1>a2,a2

4、ak,ak>ak+1,ak+1an, 此時an-1為n,an共有n-1種選法,余下的n-2個數(shù)按從小到大依次排列,共有1種,因此k=n-1時,符合條件的數(shù)列T共有

5、n-1=Cnn-1-1個. 于是所有符合條件的數(shù)列T的個數(shù)為 Cn1-1+Cnk-1+…+Cnn-1-1=Cn1+…+Cnk+…+Cnn-1-n+1=2n-Cn0-Cnn-n+1=2n-n-1. 4.(2018江蘇,23,10分)設(shè)n∈N*,對1,2,…,n的一個排列i1i2…in,如果當(dāng)sit,那么稱(is,it)是排列i1i2…in的一個逆序,排列i1i2…in的所有逆序的總個數(shù)稱為逆序數(shù),例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序,即(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù). (1)

6、求f3(2), f4(2)的值; (2)求fn(2)(n≥5)的表達(dá)式(用n表示). 解析　(1)記τ(abc)為排列abc的逆序數(shù),對1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數(shù)字4添加進去,4在新排列中的位置只能是最后三個位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個:12…n,所以fn(0)=1.逆序數(shù)為1的

7、排列只能是將排列12…n中的任意相鄰的兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以fn(1)=n-1. 為計算fn+1(2),當(dāng)1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置. 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 當(dāng)n≥5時, fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22. 因此,當(dāng)n≥5時, fn(2)=n2-n-22. 基礎(chǔ)滾動練 (滾動循環(huán)　夯實基礎(chǔ)) 1

8、.設(shè)a,b∈R,a+bi=11-7i1-2i(i為虛數(shù)單位),則a+b的值為　　　　.? 答案　8 解析　因為a+bi=11-7i1-2i=(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5+3i,所以a=5,b=3,a+b=8. 2.下圖是一個算法流程圖,則輸出的n的值是　　　　.? 答案　5 解析　該流程圖共運行5次,各次2n的值分別是2、4、8、16、32,所以輸出的n=5. 3.(2018江蘇高考信息預(yù)測)若半徑為336π的球的體積與一個長、寬分別為6、4的長方體的體積相等,則長方體的表面積為　　　　.? 答案　88 解析　由題意知球的體積為43πr3=43π·

9、36π=48,則長方體的高為48÷6÷4=2,故長方體的表面積為2×(6×4+4×2+6×2)=88. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線的漸近線方程為y=±x,且它的一個焦點與拋物線x2=8y的焦點重合,則該雙曲線的方程為　　　　.? 答案　y2-x2=2 解析　∵拋物線x2=8y的焦點(0,2)是雙曲線的一個焦點,∴c=2.又由漸近線方程為y=±x,得a=b=2,則該雙曲線的標(biāo)程是y2-x2=2. 5.直線ax+y-2=0與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點,若CA·CB=-2,則a=　　　　.? 答案　±3 解析　∵CA·CB=|CA|·|CB|cos∠ACB=4c

10、os∠ACB=-2, ∴cos∠ACB=-12,∴∠ACB=2π3.則圓心C(0,0)到直線ax+y-2=0的距離為1,即2a2+1=1,解得a=±3. 6.若實數(shù)x、y滿足x2+y2=2(x+y),則x+y的最大值是　　　　.? 答案　4 解析　因為x2+y2=(x+y)2-2xy=2(x+y), 所以(x+y)2-2(x+y)=2xy≤(x+y)22,即12(x+y)2-2(x+y)≤0,0≤x+y≤4,故x+y的最大值是4. 7.已知數(shù)列{an}滿足∑i=1nai2i-1=3n+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　.? 答案　an=9,n=16n,n≥2 解

11、析　由∑i=1nai2i-1=3n+1得∑i=1n-1ai2i-1=3n(n≥2), an2n-1=3n+1-3n=2×3n(n≥2),則an=2n×3n=6n(n≥2),又a120=9,所以a1=9.故數(shù)列{an}的通項公式是an=9,n=1,6n,n≥2. 8.(2018江蘇天一中學(xué)高三質(zhì)量檢測)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D是BC的中點. (1)求證:A1C∥平面AB1D; (2)設(shè)M為棱CC1上的點,且滿足BM⊥B1D,求證:平面AB1D⊥平面ABM. 證明　(1)記A1B∩AB1=O,連接OD. ∵四邊形AA1B1B為矩形,∴O是A1B的中點. 又∵D是BC的中點,∴A1C∥OD. ∵A1C?平面AB1D,OD?平面AB1D,∴A1C∥平面AB1D. (2)∵△ABC是正三角形,D是BC的中點,∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BB1C1C, 平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AD?平面ABC,∴AD⊥平面BB1C1C. ∵BM?平面BB1C1C,∴AD⊥BM.∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D?平面AB1D, ∴BM⊥平面AB1D,又∵BM?平面ABM,∴平面AB1D⊥平面ABM. 6