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1、瘋狂專練19 平面向量
一、選擇題
1.下列說法正確的是()
A.零向量沒有方向,沒有模長
B.,為實數(shù),若,則與共線
C.兩相等向量,若起點相同,則終點在相同
D.單位向量都相等
2.若,,共線,則的值為()
A. B. C. D.
3.若是非零向量,是單位向量,①,②,③,④,⑤,
其中正確的有()
A.①②③ B.①②⑤ C.①②④ D.①②
4.已知,,,若,則向量與向量的夾角為()
A. B. C. D.
5.已知等邊內接于,為線段的靠近點的三等分點,則()
A. B. C. D.
6.設,不共線,,,,若,,三點共線,則實數(shù)的值是()
2、A. B. C. D.
7.已知向量與的夾角為,且,,則等于()
A. B. C. D.
8.已知菱形的邊長為,,點,分別在,邊上,
且,,若,,則()
A. B. C. D.
9.已知內部的一點,恰使,則,與的面積之比為()
A. B. C. D.
10.已知的點滿足,點為邊上離最近的一個四等分點,若存在一個實數(shù),使得成立,則等于()
A. B. C. D.
11.已知,,且存在實數(shù)和(,),使得,,,則的最小值為()
A. B. C. D.
12.已知,,,,若是所在平面內一點,且,則的取值范圍是()
A. B. C. D.
二、填空題
13.
3、已知,,若與垂直,則.
14.已知,,與的夾角為,當向量與的夾角為銳角時,實數(shù)的取值范圍為.
15.如圖,在矩形中,,,點在邊上,且,點為上一點,若,則.
16.如圖所示,在等腰三角形中,已知,,,分別是,上的點,且,(其中,),且,若線段、的中點分別為,,則的最小值為.
答 案 與解析
一、選擇題
1.【答案】C
【解析】零向量的方向是任意的,模長為,故A選項錯誤;
若,則與有可能不共線,故B選項錯誤;
兩相等向量起點相同時終點也相同,故C選項正確;
單位向量模長相等,單位向量若方向不同,則不是相等向量,故D選項錯誤.
2.【答案】B
4、【解析】依題可知,,
∵,,三點共線,∴與共線,
因此,解得.
3.【答案】D
【解析】∵,∴,①正確;
為單位向量,故,②正確;
表示與方向相同的單位向量,不一定與方向相同,故③錯誤;
若,則與共線,這不一定,故④錯誤;
若與垂直,則有,故⑤錯誤.
4.【答案】C
【解析】,∵,∴,得,
∴,,
設向量與向量的夾角設為,
,∴.
5.【答案】D
【解析】如圖所示,
延長交線段于,可知為中點,
則,故選D.
6.【答案】B
【解析】∵,,,
∴,
∵,,三點共線,∴,即,
∴.
7.【答案】A
【解析】∵向量與的夾角為,且,,∴,
即,
5、∴,,
即,解得.
8.【答案】C
【解析】∵,∴,
∵,∴,,
∵,∴,即,①
同理由,可得,②
①②得,故選C.
9.【答案】B
【解析】∵,∴.
如圖所示,,分別為,的中點,根據(jù)平行四邊形法則可知,,,∴,即,
∴,,三點共線,且為線段靠近點的四等分點,,,,
∴,,的面積之比為,應選B.
10.【答案】B
【解析】∵,可知為中線交點,延長交于,則為中點,
∵為邊上離最近的一個四等分點,∴為中點,
∵成立,
,
∴.
11.【答案】A
【解析】∵,,∴,,,
∴,
∵,∴,即,
∴,
將,,代入上式得,則,
∴,
當時,有最
6、小值為.
12.【答案】D
【解析】由題意建立如圖所示的坐標系,可得,,,
∴,∴,
∴,,
∴
,
令,,根據(jù)對勾函數(shù)單調性可知,
當時,取得最小值為,則的最大值為;
當時,取最大值為,則的最小值為,
∴的取值范圍是.
二、填空題
13.【答案】或
【解析】,,
∵與垂直,∴,
即,解得或.
14.【答案】
【解析】,
∵向量與的夾角為銳角,∴,
由,得.
當向量與方向相同時,,
即當時,雖然,但是向量與的夾角為,不合題意,
∴的取值范圍是.
15.【答案】
【解析】由題意可得,
∴,
∴,得,∴,
又∵,,
∴
,
∴.
16.【答案】
【解析】連接,,∵等腰三角形中,,,
∴,
∵是的中線,∴,
同理可得,
則,
∴
,①
∵,可得代入①中得,,
∵,,∴,
當時,的最小值為,此時最小值為.
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