《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用練習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(文理通用)江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用練習(xí)(6頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第5講 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1.一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°,距燈塔68 n mile的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度為________n mile/h.
解析:如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中,=,
∴MN=68×=34 n mile.
又由M到N所用的時(shí)間為14-10=4小時(shí),
∴此船的航行速度v== n mile/h.
答案:
2.在200米高的山頂上,測得山下一塔塔頂和塔底的俯角分別是30°,60°,則塔高為________米.
解析:如圖所示,設(shè)AB為山高
2、,CD為塔高,則AB=200,∠ADM=30°,∠ACB=60°,所以BC==,AM=DMtan 30°=BCtan 30°=.
所以CD=AB-AM=.
答案:
3.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)秒針位置為P(x,y).若初始位置為P0,當(dāng)秒針從P0(注:此時(shí)t=0)開始走時(shí),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)解析式為________.
解析:由題意知,函數(shù)的周期為T=60,
∴|ω|==.
設(shè)函數(shù)解析式為y=sin.
∵初始位置為P0,
∴t=0時(shí),y=,∴sin φ=,∴φ可取,
∴函數(shù)解析式可以是y=sin.
又由秒針順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)可知,y的值從t=0
3、開始要先逐漸減小,
故y=sin.
答案:y=sin
4.已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:小時(shí))的函數(shù),記作:y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):
t(時(shí))
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
經(jīng)過長期觀測,y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos ωt+b的圖象.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acos ωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式;
(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高
4、于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的上午8:00時(shí)至晚上20:00時(shí)之間,有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?
解:(1)由表中數(shù)據(jù)知最小正周期T=12.
所以ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.①
由t=3,y=1.0,得b=1.0.②
聯(lián)立①②,可得A=0.5,b=1,
所以振幅A為,y=cost+1.
(2)由cost+1>1,得cost>0.
所以2kπ-
5、:00至晚上20:00之間有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng),即上午9:00至下午15:00.
5.(2019·南京、鹽城二模)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心、半徑為20米的圓形區(qū)域.為豐富市民的業(yè)余文化生活,現(xiàn)提出如下設(shè)計(jì)方案:如圖,在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺(tái),舞臺(tái)為扇形OAB區(qū)域,其中兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在圓周上;觀眾席為梯形ABQP內(nèi)且在圓O外的區(qū)域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=,且AB,PQ在點(diǎn)O的同側(cè),為保證視聽效果,要求觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)O處的距離都不超過60米.設(shè)∠OAB=α,α∈.問:對(duì)于任意α,上述設(shè)計(jì)方案是否均能符合要求?
解:過O作OH垂直于AB,垂足為H(圖
6、略).
在Rt△OHA中,OA=20,∠OAH=α,
所以AH=20cos α,因此AB=2AH=40cos α.
由圖可知,點(diǎn)P處觀眾離點(diǎn)O處最遠(yuǎn).
在△OAP中,由余弦定理可知
OP2=OA2+AP2-2OA·AP·cos
=400+(40cos α)2-1 600cos α·
=400(6cos2α+2sin αcos α+1)
=400(3cos 2α+sin 2α+4)
=800sin+1 600.
因?yàn)棣痢?,所以?dāng)2α=時(shí),即α=時(shí),
(OP2)max=800+1 600,即(OP)max=20+20.
因?yàn)?0+20<60,所以觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)O
7、處的距離都不超過60米,
答:對(duì)于任意α,上述設(shè)計(jì)方案均能符合要求.
6.(2019·啟東期末)如圖,某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD,已知AB=100米,BC=80米,以AD,BC為直徑的兩個(gè)半圓內(nèi)種花草,其他區(qū)域種植苗木.現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路,其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行,直路為水泥路面,其工程造價(jià)為每米2a元,弧形路為鵝卵石路面,其工程造價(jià)為每米3a元,修建的總造價(jià)為W元,設(shè)∠NBC=θ.
(1)求W關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何修建道路,可使修建的總造價(jià)最少?并求最少總造價(jià).
解:(1)
連結(jié)NC,AM,設(shè)
8、AD的中點(diǎn)為O,連結(jié)MO,過N作EN⊥BC,垂足為E.
由BC為直徑知,∠BNC=90°,
又BC=80米,∠NBC=θ,
所以BN=80cos θ米,NE=BN sin θ=80sin θcos θ,
因?yàn)镸N∥AB,AB=100米,
所以MN=AB-2NE=100-160sin θcos θ米,
由于∠DOM=2∠MAD=2θ,OM=40米.
所以=40×2θ=80θ米,
因?yàn)橹甭返墓こ淘靸r(jià)為每米2a元,弧形路的工程造價(jià)為每米3a元,所以總造價(jià)為
W=2a(BN+MN)+3a
=2a(80cos θ+100-160sin θcos θ)+3a·80θ
=40a(4co
9、s θ-8sin θcos θ+6θ+5).
所以W關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為W=40a(4cos θ-8sin θcos θ+6θ+5).
(2)設(shè)f(θ)=4cos θ-8sin θcos θ+6θ+5,0<θ<.
則f′(θ)=-4sin θ-8cos2θ+8sin2θ+6=16sin2θ-4sin θ-2=2(4sin θ+1)(2sin θ-1).
令f′(θ)=0,得θ=.
列表如下:
θ
f′(θ)
-
0
+
f(θ)
極小值
所以,當(dāng)θ=時(shí),f(θ)取得最小值.
此時(shí),總造價(jià)W最少,最少總造價(jià)為(200+40π)a元.
答:(1)W
10、關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為
W=40a(4cos θ-8sin θcos θ+60+5);
(2)當(dāng)θ=時(shí),修建的總造價(jià)最少,最少總造價(jià)為(200+40π)a元.
7.某避暑山莊擬對(duì)一半徑為1百米的圓形地塊(如圖)進(jìn)行改造,擬在該地塊上修建一個(gè)等腰梯形的游泳池ABCD,其中AB∥CD,∠DAB=60°,圓心O在梯形內(nèi)部,設(shè)∠DAO=θ.當(dāng)該游泳池的面積與周長之比最大時(shí)為“最佳游泳池”.
(1)求梯形游泳池的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并指明定義域;
(2)求當(dāng)該游泳池為“最佳游泳池”時(shí)tan θ的值.
解:(1)如圖,分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)EF,OD,由平面幾何知識(shí)可得E,
11、O,F(xiàn)三點(diǎn)共線,且EF⊥AB,EF⊥CD.
易知AB=2AE=2cos(60°-θ),DC=2DF=2cos(120°-θ),
EF=OE+OF=sin(60°-θ)+sin(120°-θ)=cos θ,
且得30°<θ<60°.
則梯形ABCD的面積
S=(AB+CD)×EF
=[2cos(60°-θ)+2cos(120°-θ)]×cos θ
=3sin θcos θ(百米2),30°<θ<60°.
(2)易知AD=2cos θ,
由(1)可得梯形ABCD的周長
l=AB+CD+2AD=2sin θ+4cos θ(百米).
設(shè)y=,30°<θ<60°,
則y′=.
由y′=0得tan3θ=.
令tan θ0= ,則當(dāng)30°<θ<θ0時(shí),y′>0,y單調(diào)遞增,當(dāng)θ0<θ<60°時(shí),y′<0,y單調(diào)遞減,
所以當(dāng)θ=θ0,即tan θ= 時(shí),該游泳池為“最佳游泳池”.
- 6 -