（全國(guó)通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 中難提分突破特訓(xùn)（三）理

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1、中難提分突破特訓(xùn)(三) 1．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1. (1)證明：AB＝AC； (2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值． 解　(1)證明：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，OB1. 因?yàn)锽C＝BB1，∠B1BC＝60°， 所以△BCB1是等邊三角形， 所以B1O⊥BC， 又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1， 所以BC⊥AB1， 所以BC⊥平面AOB1， 所以BC⊥AO，由三線合一可知△ABC為等腰三角形， 所以AB＝AC. (2)設(shè)AB1＝BB1＝2，則BC＝BB1

2、＝2. 因?yàn)锳B⊥AC，所以AO＝1. 又因?yàn)镺B1＝， 所以O(shè)B＋AO2＝AB，所以AO⊥OB1. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1，，1)，B1(0，，0)，＝(0，，1)，＝(1，，0)， 設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 則即可取n＝(，－1，)， 由(1)可知，平面CB1C1的法向量可?。?0,0,1)， 所以cos〈，n〉＝＝， 由圖示可知，二面角A1－CB1－C1為銳二面角， 所以二面角A1－CB1－C1的余弦值為. 2．已知函數(shù)f(x)＝

3、2sinxsin. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)銳角△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，角A的平分線交BC于D，直線x＝A是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，AD＝BD＝2，求邊a. 解　(1)∵f(x)＝2sinxsin， ∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx· ＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝sin＋. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得 －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)∵x＝A是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸， ∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z. 又

4、△ABC是銳角三角形，∴A＝. 在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2， 由正弦定理，得＝， ∴sinB＝.∴B＝. ∴C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝. ∴AC＝AD＝2. 在△ABC中，由正弦定理，得＝， ∴BC＝a＝. 3．綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項(xiàng)目．為預(yù)估今年7月份游客購買水果的情況，隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如圖所示的頻率分布直方圖： (1)請(qǐng)用抽樣的數(shù)據(jù)估計(jì)今年7月份游客人均購買水果的金額(同一組中

5、的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)； (2)若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達(dá)人”．填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系？ (3)為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折．若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案． 參考公式和數(shù)據(jù)：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 臨界值表： P(K2≥k0) 0.150 0.100

6、0.050 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 解　(1)＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62. 估計(jì)今年7月份游客人均購買水果的金額為62元． (2)列聯(lián)表如下： K2＝≈4.762>3.841， 因此有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系． (3)若選方案一：則需付款10×12－10＝110元； 若選方案二：設(shè)付款X元，則X的可能取值為84,96,108,120. P(X＝84)＝C3＝， P(X＝96

7、)＝C2×＝， P(X＝108)＝C××2＝， P(X＝120)＝C3＝， 所以E(X)＝84×＋96×＋108×＋120×＝102. 因?yàn)?02<110，所以選擇方案二更劃算． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)為O，M，N，求△OMN的面積． 解　(1)由參數(shù)方程(θ為參數(shù))， 得普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 所以C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－

8、4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ. (2)不妨設(shè)直線l1：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O，M，則ρM＝|OM|＝4sin＝2， 又直線l2：θ＝(ρ∈R)與曲線C的交點(diǎn)為O，N， 則ρN＝|ON|＝4sin＝2. 又∠MON＝， 所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2. 5．已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式：f(x)<4－|x－1|； (2)已知m>0，n>0，m＋n＝1，若對(duì)任意的x∈R，m>0，n>0，不等式|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求正數(shù)a的取值范圍． 解　(1)由題意得不等式為|3x＋2|＋|x－1|<4. ①當(dāng)x≥1時(shí)

9、，原不等式化為4x＋1<4，解得x<，不符合題意； ②當(dāng)－－，∴－0，n>0，m＋n＝1， ∴＋＝(m＋n) ＝2＋＋≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)＝且m＋n＝1，m>0，n>0， 即m＝n＝時(shí)等號(hào)成立，∴min＝4. 由題意得|x－a|－|3x＋2|≤4(a>0)恒成立， ①當(dāng)x≥a時(shí)，可得x－a－3x－2≤4恒成立，即－a≤2x＋6恒成立，∴－a≤(2x＋6)min＝2a＋6， 由a>0，可得上式顯然成立； ②當(dāng)－，∴a≤； ③當(dāng)x≤－時(shí)，可得a－x＋3x＋2≤4恒成立，即a≤2－2x恒成立，∴a≤(2－2x)min＝. 綜上可得0