高考數(shù)學一輪復習 47 空間向量在立體幾何中的應用（二）學案 理

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第四十七課時 空間向量在立體幾何中的應用 (二) 課前預習案 考綱要求 1.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題 2.體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 基礎知識梳理 1、二面角的定義 (1)平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做________________。 (2)二面角的定義：_________________________________________________________， _______________________叫做二面角的棱，_______________________叫做二面角的面。 (3)二面角的記法：棱為，兩個面分別為的二面角，記作______________。 (4)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線,則 是二面角的平面角. (5)直二面角：____________________________________。 2、二面角的平面角的求法 (1)如圖，分別在二面角的面內(nèi)，作向量，則等于二面角的平面角. (2)若分別為平面的法向量，二面角的大小為，則 預習自測 1． 若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為__________________________________________________． 2． 若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120，則直線l與平面α所成的角＝________. 3． 從空間一點P向二面角α—l—β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，垂足分別為E，F(xiàn)，若二面角α—l—β的大小為60，則∠EPF的大小為__________． 4． 如圖所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCO—A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為________． 課堂探究案 典型例題 【典例1】如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點. (1)求證:平面⊥平面； (2)若，，，求二面角的余弦值． 【變式1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE． （1）證明：BD⊥平面PAC； （2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 【典例2】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，平面. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 【變式2】如圖,四棱錐中,, ,為的中點,. (1)求的長； (2)求二面角的正弦值. 【典例3】（2013年天津理）如圖, 四棱柱中, 側棱⊥底面, ,⊥,，,為棱的中點. (1) 證明；(2) 求二面角的正弦值. (3) 設點在線段上, 且直線與平面所成角的正弦值為, 求線段的長. 當堂檢測 1.在空間直角坐標系Oxyz中，平面OAB的一個法向量為n＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于 (　　) A．4 B．2 C．3 D．1 2． 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 3． 設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是________． 4.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求證：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P—BD—A的大?。? 課后拓展案 A組全員必做題 1、如圖，在圓錐PO中，已知，⊙O的直徑,C是的中點，D為AC的中點．（1）證明：平面平面;（2）求二面角的余弦值。 2、如圖，直三棱柱中，，是棱的中點， （1）證明：（2）求二面角的大小. B組提高選做題 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC. （Ⅰ）證明：PC⊥平面BED； （Ⅱ）設二面角A-PB-C為90，求PD與平面PBC所成角的大小. 參考答案 預習自測 1.【答案】　 【解析】　∵na＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3， |a|＝＝， ∴cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l與α所成角記為θ，則sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. 2.【答案】　30 【解析】由題意得直線l與平面α的法向量所在直線的夾角為60，∴直線l與平面α所成的角為90－60＝30. 3.【答案】　60或120 4.【答案】　a 【解析】由圖易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)． ∴F，E. ∴EF＝ ＝＝a. 典型例題 【典例1】（1）（略）；（2） 【變式1】（1）（略）；（2）3 【典例2】（1）（略）；（2） 【變式2】（1）；（2） 【典例3】（1）（略）；(2)；(3) 當堂檢測 1.【答案】B 【解析】P點到平面OAB的距離為d＝＝＝2，故選B. 2.【答案】B 【解析】以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1， 則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝， 設平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，則　∴ ∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的銳二面角的余弦值為. 3.【答案】 【解析】建立如圖空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)， ∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)， 設平面A1BD的一個法向量n＝(x，y，z)，則. 令x＝1，則n＝(1，－1，－1)， ∴點D1到平面A1BD的距離d＝＝＝. 4.(1)證明　如圖，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)． ∴＝0， ＝0. ∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC. (2)解　平面ABD的一個法向量為m＝(0,0,1)， 設平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n＝0，n＝0.∵＝(－2，0,3)， ∴解得 令x＝，則n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝. ∴二面角P—BD—A的大小為60. A組全員必做題 1.（1）（略）；（2） 2.（1）（略）；（2） B組提高選做題 (1)（略） (2)