高中數(shù)學 第1章 計數(shù)原理 1_1_1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案 北師大版選修2-3

《高中數(shù)學 第1章 計數(shù)原理 1_1_1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案 北師大版選修2-3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第1章 計數(shù)原理 1_1_1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案 北師大版選修2-3（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1　分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 第1課時　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 1．通過實例，能總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理．(重點) 2．正確地理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”．(易混點) 3．能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　分類加法計數(shù)原理 閱讀教材P3“例1”以上部分，完成下列問題． 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝________種方法．(也稱加法原理) 【答案】　m1＋m2＋…＋mn 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(　　) (3)從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機和乘輪船，其中飛機每天有3班，輪船有4班．若李先生從甲地去乙地，則不同的交通方式共有7種．(　　) (4)某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任星期一早晨升旗任務，安排方法共有14種．(　　) 【解析】　(1)　在分類加法計數(shù)原理中，分類標準是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的． (2)√　在分類加法計數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標準分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這些事． (3)√　由分類加法計數(shù)原理，從甲地去乙地共3＋4＝7(種)不同的交通方式． (4)√　根據(jù)分類加法計數(shù)原理，擔任星期一早晨升旗任務可以是高一年級，也可以是高二年級，因此安排方法共有8＋6＝14(種)． 【答案】　(1)　(2)√　(3)√　(4)√ 教材整理2　分步乘法計數(shù)原理 閱讀教材P4，完成下列問題． 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝________種方法．(也稱乘法原理) 【答案】　m1m2…mn 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(　　) (3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，則xy可表示不同的值的個數(shù)為9個．(　　) (4)在一次運動會上有四項比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有43種．(　　) 【解析】　(1)√　因為在分步乘法計數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同． (2)　因為在分步乘法計數(shù)原理中，要完成這件事需分兩步，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成． (3)√　因為x從集合{2,3,7}中任取一個值共有3個不同的值，y從集合{－3，－4,8}中任取一個值共有3個不同的值，故xy可表示33＝9個不同的值． (4)　因為每個項目中的冠軍都有3種可能的情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有34種不同的奪冠情況． 【答案】　(1)√　(2)　(3)√　(4) [質(zhì)疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 分類加法計數(shù)原理的應用 　(1)從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？ (2)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？ 【精彩點撥】　(1)按所選組長來自不同班級為分類標準．(2)按個位(或十位)取0～9不同的數(shù)字進行分類． 【自主解答】　(1)分四類： 從一班中選一人，有4種選法； 從二班中選一人，有5種選法； 從三班中選一人，有6種選法； 從四班中選一人，有7種選法． 共有不同選法N＝4＋5＋6＋7＝22種． (2)法一　按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)． 法二　按個位上的數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)． 1．應用分類加法計數(shù)原理解題的策略 (1)標準明確：明確分類標準，依次確定完成這件事的各類方法． (2)不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復，又不能遺漏． (3)方法獨立：確定的每一類方法必須能獨立地完成這件事． 2．利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路 [再練一題] 1．(1)某學生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有(　　) A．1種　　　 B．2種　　　 C．3種　　　 D．4種 (2)有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個．若從三個袋子中任取1個小球，有________種不同的取法. 【導學號：62690000】 【解析】　(1)分兩類：買1本或買2本書，各類購買方式依次有2種、1種，故購買方式共有2＋1＝3種．故選C. (2)有三類不同方案： 第一類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法； 第二類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法； 第三類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法． 其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨立地完成“任取1個小球”這件事，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15種． 【答案】　(1)C　(2)15 分步乘法計數(shù)原理的應用 　一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復)? 【精彩點撥】　根據(jù)題意，必須依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應用分步乘法計數(shù)原理． 【自主解答】　按從左到右的順序撥號可以分四步完成： 第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10； 第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10； 第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10； 第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N＝10101010＝10 000個四位數(shù)的號碼． 1．應用分步乘法計數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可． 2．利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路 (1)分步：將完成這件事的過程分成若干步； (2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)； (3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果． [再練一題] 2．張濤大學畢業(yè)參加工作后，把每月工資中結(jié)余的錢分為兩部分，其中一部分用來定期儲蓄，另一部分用來購買國債．人民幣儲蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購買國債則可以從一年期、二年期和三年期中選擇一種．問：張濤共有多少種不同的理財方式？ 【解】　由題意知，張濤要完成理財目標應分步完成． 第一步，將一部分錢用來定期儲蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財方式； 第二步，用另一部分錢購買國債，從一年期、二年期和三年期三種國債中任意選擇一種理財方式． 由分步乘法計數(shù)原理，得23＝6種． [探究共研型] 兩個計數(shù)原理的辨析 探究1　某大學食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，試問要“完成的這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？ 【提示】　“完成這件事”是指從6種葷菜中選出一種，再從5種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時這件事才算完成．而只選出“一葷一素”不能算“完成這件事”． 探究2　在探究1中，要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步？為什么？ 【提示】　要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成．只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能達到“一葷一素一湯”的要求，即都不能完成“配成套餐”這件事． 探究3　在探究1中，若要配成“一素一湯套餐”，試問可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解嗎？你能說明分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的主要區(qū)別嗎？ 【提示】　5種素菜分別記為A，B，C，D，E.3種湯分別記為a，b，c. 利用分類加法計數(shù)原理求解： 以選用5種不同的素菜分類： 選素菜A時，湯有3種選法；選素菜B時，湯有3種選法；選素菜C時，湯有3種選法；選素菜D時，湯有3種選法；選素菜E時，湯有3種選法．故由加法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(種)不同的套餐． 利用分步乘法計數(shù)原理求解： 第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法； 第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法． 由分步乘法計數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有53＝15(種)不同套餐． 兩個計數(shù)原理的主要區(qū)別在于分類加法計數(shù)原理是將一件事分類完成，每類中的每種方法都能完成這件事，而分步乘法計數(shù)原理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事． 　有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦．從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有多少種？ 【精彩點撥】　從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，首先將問題分類，可分為四類，然后每一類再分步完成．即解答本題可“先分類，后分步”． 【自主解答】　第一類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有22＝4種方法； 第二類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人操作電腦，有2種方法； 第三類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法； 第四類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8種選派方法． 1．能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點： (1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可； (2)完成每一步有若干種方法； (3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)． 2．利用分步乘法計數(shù)原理應注意： (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的； (2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復、交叉； (3)若完成某件事情需n步，則必須依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成． [再練一題] 3．一個袋子里有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通手機卡． (1)某人要從兩個袋子中任取一張自己使用的手機卡，共有多少種不同的取法？ (2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？ 【解】　(1)第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法； 第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋12＝22種取法． (2)第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法； 第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有1012＝120種取法． [構(gòu)建體系] 1．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(　　) A．7　　　　 B．12　　　　 C．64　　　　 D．81 【解析】　先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計數(shù)原理，上衣與長褲配成一套共43＝12(種)不同配法．故選B. 【答案】　B 2．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．342＝24 D．以上都不對 【解析】　分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9種不同的走法． 【答案】　B 3．從2,3,5,7,11中每次選出兩個不同的數(shù)作為分數(shù)的分子、分母，則可產(chǎn)生不同的分數(shù)的個數(shù)是________，其中真分數(shù)的個數(shù)是________. 【導學號：62690001】 【解析】　產(chǎn)生分數(shù)可分兩步：第一步，產(chǎn)生分子有5種方法；第二步，產(chǎn)生分母有4種方法，共有54＝20個分數(shù)．產(chǎn)生真分數(shù)，可分四類：第一類，當分子是2時，有4個真分數(shù)，同理，當分子分別是3,5,7時，真分數(shù)的個數(shù)分別是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10個真分數(shù)． 【答案】　20　10 4．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，不同的行車路線有________條． 【解析】　經(jīng)過一次十字路口可分兩步：第一步確定入口，共有4種選法；第二步確定出口，從剩余3個路口任選一個共3種，由分步乘法計數(shù)原理知不同的路線有43＝12條． 【答案】　12 5．某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息． (1)若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？ (2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？ 【解】　(1)小明爸爸選凳子可以分兩類： 第一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法； 第二類：選西面的空閑凳子，有6種坐法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，小明爸爸共有8＋6＝14(種)坐法． (2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成： 第一步，小明先就坐，從東西面共8＋6＝14(個)凳子中選一個坐下，共有14種坐法；(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13) 第二步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法． 由分步乘法計數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有1413＝182(種)坐法． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學業(yè)分層測評 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖111所示為一個電路圖，從左到右可通電的線路共有(　　) 圖111 A．6條　　　 B．5條　　　 C．9條　　　 D．4條 【解析】　從左到右通電線路可分為兩類：從上面有3條；從下面有2條．由分類加法計數(shù)原理知，從左到右通電的線路共有3＋2＝5條． 【答案】　B 2．有5列火車停在某車站并排的5條軌道上，若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有(　　) A．96種 B．24種 C．120種 D．12種 【解析】　先排第1道，有4種排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1種，由分步乘法計數(shù)原理知共有44321＝96種． 【答案】　A 3．將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有(　　) A．53種 B．35種 C．8種 D．15種 【解析】　每封信均有3種不同的投法，所以依次把5封信投完，共有33333＝35種投法． 【答案】　B 4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對的個數(shù)是(　　) A．15 B．12 C．5 D．4 【解析】　利用分類加法計數(shù)原理． 當x＝1時，y＝0,1,2,3,4,5，有6個；當x＝2時，y＝0,1,2,3,4，有5個；當x＝3時，y＝0,1,2,3，有4個．據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有6＋5＋4＝15個． 【答案】　A 5．從集合{1,2,3,4,5}中任取2個不同的數(shù)，作為方程Ax＋By＝0的系數(shù)A，B的值，則形成的不同直線有(　　) 【導學號：62690002】 A．18條 B．20條 C．25條 D．10條 【解析】　第一步，取A的值，有5種取法；第二步，取B的值，有4種取法，其中當A＝1，B＝2時與A＝2，B＝4時是相同的方程；當A＝2，B＝1時與A＝4，B＝2時是相同的方程，故共有54－2＝18條． 【答案】　A 二、填空題 6．橢圓＋＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則滿足題意的橢圓的個數(shù)為______． 【解析】　因為焦點在y軸上，所以00. 完成這件事分兩個步驟：a的取法有3種，b的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知，P可以表示平面上的32＝6(個)第二象限的點． (3)因為點P不在直線y＝x上，所以第一步a的取法有6種，第二步b的取法有5種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，P可以表示65＝30(個)不在直線y＝x上的點．