高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)9 弦切角的性質(zhì) 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)9 弦切角的性質(zhì) 新人教A版選修4-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2412所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點(diǎn)C，AC＝BC，則sin∠MCA＝(　　) 圖2412 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC. ∵sin∠ABC＝＝＝＝，故選D. 【答案】　D 2．如圖2413，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點(diǎn)，那么圖中與∠DCF相等的角的個(gè)數(shù)是(　　) 圖2413 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如圖2414所示，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長(zhǎng)為(　　) 圖2414 A．2 B．3 C．2 D．4 【解析】　連接BC.∵AB是⊙O的直徑， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴AC2＝ABAD＝62＝12， ∴AC＝2，故選C. 【答案】　C 4．如圖2415，PC與⊙O相切于C點(diǎn)，割線PAB過(guò)圓心O，∠P＝40，則∠ACP等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370043】 圖2415 A．20 B．25 C．30 D．40 【解析】　如圖，連接OC，BC， ∵PC切⊙O于C點(diǎn)， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40，∴∠POC＝50. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠POC＝25， ∴∠ACP＝∠B＝25. 【答案】　B 5．如圖2416所示，已知AB，AC與⊙O相切于B，C，∠A＝50，點(diǎn)P是⊙O上異于B，C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是(　　) 圖2416 A．65 B．115 C．65或115 D．130或50 【解析】　當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)， 由∠A＝50，得∠ABC＝∠ACB＝65. ∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠BPC＝65. 當(dāng)P點(diǎn)在劣弧上時(shí)，∠BPC＝115. 故選C. 【答案】　C 二、填空題 6.如圖2417所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________. 　圖2417 【解析】　∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴＝，∴AB2＝ADAC＝mn， ∴AB＝. 【答案】　 7．如圖2418，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上．AD是⊙O的切線，若∠B＝30，AC＝2，則OD的長(zhǎng)為__________． 圖2418 【解析】　連接OA， 則∠COA＝2∠CBA＝60， 且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2. 又因?yàn)锳D是⊙O的切線，即OA⊥AD， 所以O(shè)D＝2OA＝4. 【答案】　4 8.如圖2419，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________. 圖2419 【解析】　連接OC，∵PC切⊙O于點(diǎn)C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2，∵OCPC＝OPCD， ∴CD＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2420所示，△ABT內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)T的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠APT的平分線交BT，AT于C，D. 圖2420 求證：△CTD為等腰三角形． 【證明】　∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠DPT. 又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形． 10．如圖2421，AB是⊙O的弦，M是上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的切線與分別以A，B為垂足的直線AD，BC交于D，C兩點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作NM⊥CD交AB于點(diǎn)N，求證：MN2＝ADBC. 圖2421 【證明】　連接AM，MB， 因?yàn)镈A⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MDA＋∠MNA＝180. 又因?yàn)椤螹NA＋∠MNB＝180， 所以∠MDA＝∠MNB， 又因?yàn)镃D為⊙O的切線，所以∠1＝∠2， 所以△ADM∽△MNB， 所以＝，同理＝， 所以＝，即有MN2＝ADBC. [能力提升] 1．在圓O的直徑CB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)A，AP與圓O切于點(diǎn)P，且∠APB＝30，AP＝，則CP＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370044】 A.　 B．2 C．2－1 D．2＋1 【解析】　如圖，連接OP，則OP⊥PA， 又∠APB＝30， ∴∠POB＝60， 在Rt△OPA中，由AP＝， 易知，PB＝OP＝1， 在Rt△PCB中， 由PB＝1，∠PBC＝60，得PC＝. 【答案】　A 2．如圖2422，AB是⊙O直徑，P在AB的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為(　　) 圖2422 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P， ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP，得 PC2＝PBPA， 即AC2＝PBPA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1(1＋2r)，解得r＝1. 【答案】　A 3．如圖2423，過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________. 圖2423 【解析】　由PA為⊙O的切線，BA為弦， 得∠PAB＝∠BCA. 又∠BAC＝∠APB， 于是△APB∽△CAB， 所以＝. 而PB＝7，BC＝5， 故AB2＝PBBC＝75＝35，即AB＝. 【答案】　 4．如圖2424，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 圖2424 證明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝ADBC. 【證明】　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 從而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AFBF， 所以EF2＝ADBC.