高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何章末檢測(cè)（B）北師大版選修2-1

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第二章　空間向量與立體幾何(B) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分) 1．空間四個(gè)點(diǎn)O、A、B、C，，，為空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法不正確的是(　　) A．O、A、B、C四點(diǎn)不共線 B．O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線 C．O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線 D．O、A、B、C四點(diǎn)不共面 2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，則x，y的值分別為(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 4．設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60角的對(duì)角線的數(shù)目是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 5．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且ab＝2，則x的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 7．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足＝0，＝0，＝0，則△BCD是(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定 8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答　案 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. 12．若A，B，C是平面α內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝__________. 13．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為_(kāi)_________． 14．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夾角為60，則λ＝________. 15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90，AB＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD和BC1所成角的大小為_(kāi)_______． 三、解答題(本大題共6小題，共75分) 16．(12分) 如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的分點(diǎn)，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值． 17. (12分)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，點(diǎn)E是SC上的點(diǎn)，且SE＝λa (0<λ≤2)． (1)求證：對(duì)任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE； (2)若SC⊥平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大?。? 18.(12分)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求a和b的夾角θ的余弦值； (2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值． 19．(12分) 如圖所示，在三棱錐S—ABC中，SO⊥平面ABC，側(cè)面SAB與SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90，O為BC的中點(diǎn)，求二面角A—SC—B的余弦值． 20. (13分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點(diǎn)． (1)求證：平面PDC⊥平面PAD； (2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離． 21．(14分)如圖， 四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)． (1)求證：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小； (3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由． 第二章　空間向量與立體幾何(B) 1．B 2．C　[＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴cos〈，〉＝＝， ∴〈，〉＝60.] 3．C　[＝＋＝＋(＋)＝＋＋， 由空間向量的基本定理知，x＝y(tǒng)＝.] 4．C 5．C　[∵＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正確； ∵＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正確；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正確，④錯(cuò)誤．] 6．C 7．B　[△BCD中，＝(－)(－)＝2>0.∴∠B為銳角，同理，∠C，∠D均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．] 8．C 　[建系如圖，設(shè)AB＝1，則B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)． ∴＝(－1,0,1)， ＝(0,1,1) ∴cos〈，〉 ＝＝＝. ∴〈，〉＝60，即異面直線BA1與AC1所成的角等于60.] 9．C　[∵Q在OP上，∴可設(shè)Q(x，x,2x)，則＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)． ∴＝6x2－16x＋10，∴x＝時(shí)，最小，這時(shí)Q.] 10．C　[ 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)． 可以證明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD. 又cos〈，〉＝，結(jié)合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為.] 11．2 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)． ∴(c－a)(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. 12．2∶3∶(－4) 解析?。剑? ＝， 由a＝0，a＝0，得， x∶y∶z＝y(tǒng)∶y∶＝2∶3∶(－4)． 13．60或120 解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝－， ∴〈m，n〉＝120，即平面α與β所成二面角的大小為60或120. 14. 解析　∵a＝(2,3，λ)，b＝， ∴ab＝λ＋1，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. ∴λ＝. 15. 解析　 建立如圖所示坐標(biāo)系，則＝(－1,1，－2)， ＝(0,2，－2)， ∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝. 即異面直線AD和BC1所成角的大小為. 16．解　∵＝＋＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(－)＋(＋) ＝－＋＋ ＝＋＋， ∴α＝，β＝，γ＝. 17．(1)證明　連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O. 由底面是菱形，得BD⊥AC. ∵SB＝SD，O為BD中點(diǎn)， ∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC. 又AE?面SAC，∴BD⊥AE. (2)解　由(1)知BD⊥SO， 同理可證AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD. 取AC和BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)SO＝x， 則OA＝，OB＝. ∵OA⊥OB，AB＝2a， ∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a. ∴OA＝a，則A(a,0,0)，C(－a,0,0)， S(0,0，a)． ∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量． ∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)． 設(shè)SA與平面BED所成角為α， 則sin α＝＝＝， 即SA與平面BED所成的角為. 18．解　a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝＝＝－， ∴a與b的夾角θ的余弦值為－. (2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0. 即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2. 19．解　 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA，OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)B(1,0,0)，則C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中點(diǎn)M. 故＝，＝， ＝(－1,0，－1)， 所以＝0，＝0. 即MO⊥SC，MA⊥SC. 故〈，〉為二面角A—SC—B的平面角． cos〈，〉＝＝. 即二面角A—SC—B的余弦值為. 20．(1)證明　如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依 題意可知A(0,0,0)， B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)， P(0,0,2)． ∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)． 設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)， 則?? 所以平面PCD的一個(gè)法向量為. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD. ∴平面PAD的法向量為＝(0,2,0)． ∵n＝0，∴n⊥. ∴平面PDC⊥平面PAD. (2)解　由(1)知平面PCD的一個(gè)單位法向量為＝. ∴＝＝， ∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為. 21．(1)證明　連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖所示． 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝a. 于是S(0,0，a)，D，C， B， ＝， ＝， ∴＝0. ∴OC⊥SD，即AC⊥SD. (2)解　由題意知，平面PAC的一個(gè)法向量＝，平面DAC的一個(gè)法向量＝， 設(shè)所求二面角為θ，則cos θ＝＝， 故所求二面角P—AC—D的大小為30. (3)解　在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC. 由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量， 且＝，＝， ＝， 設(shè)＝t， 則＝＋＝＋t ＝. 由＝0，得t＝， 即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)，⊥ 而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC. - 11 -