高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3.3 直線與平面垂直的性質 2.3.4 平面與平面垂直的性質課時作業(yè) 新人教A版必修2

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2.3.3　直線與平面垂直的性質 2.3.4　平面與平面垂直的性質　 【選題明細表】 知識點、方法 題號 線面垂直性質的理解 1、10 面面垂直性質的理解 3、4 線面垂直性質的應用 2、5、6、7、8 面面垂直性質的應用 9、11、12 基礎鞏固 1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是(　C　) (A)相交 (B)異面 (C)平行 (D)不確定 解析:因為l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A, 所以l⊥平面ABC. 同理可證m⊥平面ABC, 所以l∥m,故選C. 2.(2015臨汾市曲沃二中高二期中)在空間中,a,b是不重合的直線,α,β是不重合的平面,則下列條件中可推出a∥b的是(　C　) (A)a?α,b?β,α∥β (B)a∥α,b?α (C)a⊥α,b⊥α (D)a⊥α,b?α 解析:對于選項A,若a?α,b?β,α∥β,則a與b沒有公共點,即a與b平行或異面; 對于選項B,若a∥α,b?α,則a與b沒有公共點,即a與b平行或 異面; 對于選項C,若a⊥α,b⊥α,由線面垂直的性質定理, 可得a∥b; 對于選項D,若a⊥α,b?α,則由線面垂直的定義可得a⊥b. 故選C. 3.已知平面α、β和直線m、l,則下列命題中正確的是(　D　) (A)若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥β (B)若α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥β (C)若α⊥β,l?α,則l⊥β (D)若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,則l⊥β 解析:根據(jù)面面垂直的性質定理逐一判斷.選項A缺少了條件l?α;選項B缺少了條件α⊥β;選項C缺少了條件α∩β=m,l⊥m;選項D具備了面面垂直的性質定理的全部條件.故選D. 4.已知平面α、β和直線m,若α⊥β,m⊥α,則(　D　) (A)m⊥β (B)m∥β (C)m?β (D)m∥β或m?β 解析:設α∩β=l,當m與l相交時,由m⊥α可得m?β;當m與l不相交時,可得m∥β.故選D. 5.(2015蚌埠市五河高中高二期中)如圖,PA⊥矩形ABCD,下列結論中不正確的是(　A　) (A)PD⊥BD 　　　　　(B)PD⊥CD (C)PB⊥BC 　　　　　(D)PA⊥BD 解析:因為PA⊥矩形ABCD, 所以PA⊥BD,若PD⊥BD,則BD⊥平面PAD, 又BA⊥平面PAD,則過平面外一點有兩條直線與平面垂直,不成立,故A不正確; 因為PA⊥矩形ABCD, 所以PA⊥CD,AD⊥CD, 所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD, 同理可證PB⊥BC, 因為PA⊥矩形ABCD, 所以由直線與平面垂直的性質得PA⊥BD.故選A. 6.(2015北京市房山區(qū)高二期中)如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90,F是AC的中點,E是PC上的點,且EF⊥BC,則=　　　　. 解析:在三棱錐PABC中, 因為PA⊥底面ABC,∠BAC=90,所以AB⊥平面APC. 因為EF?平面PAC,所以EF⊥AB, 因為EF⊥BC,BC∩AB=B, 所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF, 因為F是AC的中點,E是PC上的點, 所以E是PC的中點,所以=1. 答案:1 7.(2015太原五中高二月考)如圖,在四面體ABCD中,已知DA⊥平面ABC,BC⊥平面ABD,BC=BD=2,四面體的三個面DAB、DBC、DCA面積的平方和是8,則∠ADB=　　　　. 解析:因為DA⊥平面ABC, 所以DA⊥AB,DA⊥AC. 因為BC⊥平面ABD,所以BC⊥BD,BC⊥AB. 設AD=a,AB=b,則a2+b2=4, 因為三個面DAB、DBC、DCA面積的平方和是8, BC=BD=2, 所以（ab）2+（22）2+（a）2=8, 所以a=b=,所以∠ADB=45. 答案:45 8.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PA=AB,G為PD的中點. 求證:AG⊥平面PCD. 證明:因為PA⊥平面ABCD, CD?平面ABCD, 所以PA⊥CD.又因為AD⊥CD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD.又因為AG?平面PAD, 所以AG⊥CD. 因為PA=AB=AD,G為PD的中點, 所以AG⊥PD.又PD∩CD=D,所以AG⊥平面PCD. 能力提升 9.(2015運城市康杰中學高二期中)如圖所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,則下列說法中不正確的是(　D　) (A)平面ACD⊥平面ABD (B)AB⊥CD (C)平面ABC⊥平面ACD (D)AB∥平面ABC 解析:因為BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD, 所以CD⊥平面ABD, 因為CD?平面ACD, 所以平面ACD⊥平面ABD,故A正確; 因為平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=, 所以AB⊥AD, 又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正確; 因為AB⊥平面ACD,AB?平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ACD,故C正確; 因為AB?平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D錯誤.故選D. 10.(2015宿州市高二期中)設m,n為空間的兩條直線,α,β為空間的兩個平面,給出下列命題: ①若m∥α,m∥β,則α∥ β;②若m⊥α,m⊥β,則α∥β; ③若m∥α,n∥α,則m∥n;④若m⊥α,n⊥α,則m∥n. 上述命題中,其中假命題的序號是　　　　. 解析:①若m∥α,m∥β,則α與β相交或平行,故①不正確; ②若m⊥α,m⊥β,則α∥β,故②正確; ③若m∥α,n∥α,則m與n相交、平行或異面,故③不正確; ④若m⊥α,n⊥α,由直線垂直于平面的性質定理知m∥n,故④正確. 答案:①③ 11.如圖,△ABC是邊長為2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD. (1)求證:AE∥平面BCD; (2)求證:平面BDE⊥平面CDE. 證明: (1)取BC的中點M,連接DM, 因為BD=CD,且BD⊥CD,BC=2, 所以DM=1,DM⊥BC. 又因為平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC, 又AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM. 又因為AE?平面BCD,DM?平面BCD, 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)已證AE∥DM, 又AE=1,DM=1, 所以四邊形DMAE是平行四邊形, 所以DE∥AM. 連接AM,易證AM⊥BC, 因為平面BCD⊥平面ABC, 所以AM⊥平面BCD, 所以DE⊥平面BCD. 又CD?平面BCD, 所以DE⊥CD. 因為BD⊥CD,BD∩DE=D, 所以CD⊥平面BDE. 因為CD?平面CDE, 所以平面BDE⊥平面CDE. 探究創(chuàng)新 12.如圖,在△ABC中,AC=BC=AB,四邊形ABED是邊長為a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G,F分別是EC,BD的中點. (1)求證:GF∥平面ABC; (2)求證:平面EBC⊥平面ACD; (3)求幾何體ADEBC的體積V. (1)證明:如圖,取BE的中點H,連接HF,GH.因為G,F分別是EC和BD的中點, 所以HG∥BC,HF∥DE. 又因為四邊形ABED為正方形, 所以DE∥AB,從而HF∥AB. 所以HF∥平面ABC,HG∥平面ABC. 又因為GH∩HF=H, 所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC. (2)證明:因為四邊形ABED為正方形,所以EB⊥AB. 又因為平面ABED⊥平面ABC, 所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC. 又因為CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC. 又因為BE∩BC=B,所以AC⊥平面EBC. 又因為AC?平面ACD,從而平面EBC⊥平面ACD. (3)解:取AB的中點N,連接CN,因為AC=BC, 所以CN⊥AB,且CN=AB=a. 又平面ABED⊥平面ABC, 所以CN⊥平面ABED. 因為CABED是四棱錐, 所以=S四邊形ABEDCN =a2a =a3. 即幾何體ADEBC的體積V=a3.