高中數(shù)學(xué) 4_2 曲線的極坐標方程 6 圓錐曲線的極坐標方程及應(yīng)用學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標方程 6 圓錐曲線的極坐標方程及應(yīng)用學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學(xué)業(yè)達標] 1．過橢圓＋＝1的左焦點引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點，若FA＝2FB，求直線l的斜率． 【解】　橢圓＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， 所以e＝，p＝＝. 取橢圓的左焦點為極點，x軸正方向為極軸正方向，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為ρ＝＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由題設(shè)得ρ1＝2ρ2.于是＝2，解得cos θ＝，所以tan θ＝，即直線l的斜率為. 2．已知橢圓方程為ρ＝，過左焦點引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面積． 【解】　如圖，設(shè)A(ρ1，θ)、 B(ρ2，θ＋π)． 所以ρ1＋ρ2＝＋ ＝. 因為AB＝8， 所以＝8， 所以cos2θ＝，sin θ＝. 由橢圓方程知 e＝＝，＝，則c＝3. S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝OFρ1sin θ＋OFρ2sin θ＝8. 3．如圖424，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點，MN⊥AB，并交對稱軸于N. 圖424 求證：MN2＝AFBF. 【證明】　取F為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為ρ＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，則 AFBF＝＝. 不妨設(shè)0＜θ＜，則MF＝(ρ1－ρ2) ＝(－)＝. 所以MN＝MFtan θ ＝tan θ＝. 所以MN2＝AFBF. 4．如圖425，已知圓F：x2＋y2－4x＝0，拋物線G的頂點是坐標系的原點，焦點是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為θ的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點． 圖425 (1)當直線的斜率為2時，求AB＋CD； (2)當θ為何值時，AB＋CD有最小值？并求這個最小值． 【解】　圓F：x2＋y2－4x＝0的圓心坐標為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點到準線的距離為4. 以圓心F為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系．則圓F的坐標方程為ρ＝2，拋物線G的極坐標方程為ρ＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝－4. (1)由題意，得tan θ＝2，所以sin2θ＝. 所以AB＋CD＝－4＝6. (2)AB＋CD＝－4， 當sin2θ＝1， 即θ＝時△ABF2的面積取到最小值4. 5．已知拋物線ρ＝，過焦點作互相垂直的極徑FA、FB，求△FAB的面積的最小值． 【解】　設(shè)A(ρ1，θ)、B，則 ρ1＝，ρ2＝＝. △FAB的面積為 S＝ρ1ρ2＝ ＝ ＝. 設(shè)t＝sin θ－cos θ，則sin θcos θ＝. 所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t－＝(t＋1)2. 又t＝sin θ－cos θ＝sin∈－，]， 所以當t＝，即θ＝時，△FAB的面積S有最小值. 6．已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓短軸的一個頂點，且∠F1PF2＝90. (1)求橢圓C的離心率； (2)若直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，且△ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程． 【導(dǎo)學(xué)號：98990017】 【解】　(1)因為∠F1PF2＝90，所以PF＋PF＝F1F，即a2＋a2＝4c2.所以e＝＝. (2)以橢圓的左焦點F1為極點，F(xiàn)x為極軸建立極坐標系，設(shè)橢圓的方程為 ρ＝＝. 設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)， 則AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2 ＝＋ ＝＋＝. 因為F1F2＝2c，所以△ABF2的邊AB上的高h為2c|sin θ|，△ABF2的面積S＝ABh＝＝ ＝. 因為＋|sin θ|≥2， 所以當|sin θ|＝1， 即θ＝或θ＝時S取到最大值． 所以當l過左焦點且垂直于極軸時，△ABF2的面積取到最大值pc，所以pc＝12，即b2＝6. 故a2－c2＝6.又＝， 所以a2＝12，c2＝6. 所求橢圓的方程為 ＋＝1. 7．已知橢圓＋＝1，直線l：＋＝1，P是l上一點，射線OP交橢圓于R，又點Q在OP上，且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 【解】　如圖，以O(shè)為極點，Ox為極軸，建立極坐標系，則： 橢圓的極坐標方程為ρ2＝， 直線l的極坐標方程ρ＝. 由于點Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點Q、R、P的極坐標分別為(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依題意，得 ρ＝，① ρ2＝.② 由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ2＝ρ(ρ≠0)． 將①②代入， 得ρ＝， 則ρ＝(ρ≠0)． 這就是點Q的軌跡的極坐標方程， 化為直角坐標方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y， 即＋＝1(x、y不同時為0)． ∴點Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為，的橢圓(去掉坐標原點)． 能力提升] 8．建立極坐標系證明：已知半圓直徑|AB|＝2r(r＞0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點T，并且|AT|＝2a(2a＜)．若半圓上相異兩點M，N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|＝|NQ|：|NA|＝1，則|MA|＋|NA|＝|AB|. 【證明】　法一　以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，則半圓的極坐標方程為ρ＝2rcos θ，設(shè)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 則ρ1＝2rcos θ1，ρ2＝2rcos θ2， 又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2rcos2θ1， |NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2rcos2θ2， ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1， |NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcos θ2， ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根， 由韋達定理：cos θ1＋cos θ2＝1， |MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r＝|AB|. 法二　以A為極點，射線AB為極軸建立直角坐標系，則半圓的極坐標方程為ρ＝2rcos θ， 設(shè)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)， 又由題意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在拋物線ρ＝上，∴2rcos θ＝，rcos2θ－rcos θ＋a＝0， ∴cos θ1，cos θ2是方程rcos2θ－rcos θ＋a＝0的兩個根，由韋達定理：cos θ1＋cos θ2＝1， 得|MA|＋|NA|＝2rcos θ1＋2rcos θ2＝2r ＝|AB|.