高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評10 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1
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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 學業(yè)分層測評10 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．雙曲線－＝1的漸近線方程是( ) A．4x3y＝0 B．16x9y＝0 C．3x4y＝0 D．9x16y＝0 【解析】 由題意知，雙曲線焦點在x軸上，且a＝3，b＝4，∴漸近線方程為y＝x，即4x3y＝0. 【答案】 A 2．中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線3x－4y＋12＝0上的等軸雙曲線方程是( ) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 【解析】 令y＝0，得x＝－4， ∴等軸雙曲線的一個焦點坐標為(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝16＝8，故選A. 【答案】 A 3．設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為( ) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝x 【解析】 由已知，得b＝1，c＝，a＝＝. 因為雙曲線的焦點在x軸上， 所以漸近線方程為y＝x＝x. 【答案】 C 4．(2014全國卷Ⅰ)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝( ) A．2 B. C. D．1 【解析】 由題意得e＝＝2，∴＝2a， ∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1. 【答案】 D 5．與曲線＋＝1共焦點，且與曲線－＝1共漸近線的雙曲線的方程為( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】 根據(jù)橢圓方程可知焦點為(0，－5)，(0,5)．設所求雙曲線方程為－＝λ(λ＜0)，即－＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－. 故所求雙曲線的方程為－＝1. 【答案】 A 二、填空題 6．已知雙曲線的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則該雙曲線的離心率為________． 【解析】 由三角形相似或平行線分線段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3. 【答案】 3 7．直線x－y＋＝0被雙曲線x2－y2＝1截得的弦AB的長是________． 【解析】 聯(lián)立消去y，得x2＋3x＋2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－3，x1x2＝2， ∴|AB|＝＝2. 【答案】 2 8．若直線x＝2與雙曲線x2－＝1(b＞0)的兩條漸近線分別交于點A，B，且△AOB的面積為8，則焦距為________. 【導學號：26160051】 【解析】 由雙曲線為x2－＝1得漸近線為y＝bx，則交點A(2,2b)，B(2，－2b)． ∵S△AOB＝24b＝8，∴b＝2. 又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距2c＝2. 【答案】 2 三、解答題 9．已知雙曲線C的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，離心率e＝，頂點到漸近線的距離為，求雙曲線C的方程． 【解】 依題意，雙曲線的焦點在y軸上，頂點坐標為(0，a)，漸近線方程為y＝x，即axby＝0， 所以＝＝. 又e＝＝， 所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1， 解得a2＝4，故雙曲線方程為－x2＝1. 10．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點P，使|PF1|＝2|PF2|，試確定雙曲線離心率的取值范圍． 【解】 由題意知在雙曲線上存在一點P，使得|PF1|＝2|PF2|，如圖所示． 又∵|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a，即在雙曲線右支上恒存在點P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a. ∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a. 又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3. [能力提升] 1．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是( ) A．(－10,0) B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12) 【解析】 雙曲線方程化為－＝1，則a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12
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