高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義學業(yè)分層測評 蘇教版

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.5 圓錐曲線的統(tǒng)一定義學業(yè)分層測評 蘇教版選修2-1 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 一、填空題 1．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，則實數(shù)a＝________. 【解析】　拋物線y2＝4x的焦點是(1,0)，直線ax－y＋1＝0過焦點，∴a＋1＝0，∴a＝－1. 【答案】?。? 2．已知橢圓的準線方程為y＝4，離心率為，則橢圓的標準方程為________. 【導學號：09390053】 【解析】　由題意＝＝4，∴a＝4e＝2. ∵e＝＝， ∴c＝1，b2＝a2－c2＝3. 由準線方程是y＝4可知， 橢圓的焦點在y軸上，標準方程為＋＝1. 【答案】　＋＝1 3．已知拋物線y2＝2px的準線與雙曲線x2－y2＝2的左準線重合，則拋物線的焦點坐標為________． 【解析】　雙曲線的左準線為x＝－1， 拋物線的準線為x＝－，所以＝1，所以p＝2. 故拋物線的焦點坐標為(1,0)． 【答案】　(1,0) 4．(2015全國卷Ⅰ改編)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝________. 【解析】　拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴橢圓中c＝2， 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 從而橢圓方程為＋＝1. ∵拋物線y2＝8x的準線為x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3， 由圖象可知|AB|＝2|yA|＝6. 【答案】　6 5．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點到右準線的距離等于3a，則雙曲線的離心率為________． 【解析】　由題意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac， ∴e2－3e＋1＝0，解得e＝. 【答案】　 6．設雙曲線－＝1的右焦點為F(3,0)，P(4，2)是雙曲線上一點，若雙曲線的右準線為x＝m，則實數(shù)m的值是________． 【解析】　法一：由題意可知解得b2＝，a2＝， 故右準線x＝＝，即m＝. 法二：由題意PF＝＝3， 根據(jù)橢圓的第二定義得＝＝e. 又m＝， ∴＝＝. ∵c＝3， ∴e2＝， ∴2＝， ∴m2－11m＋16＝0， ∴m＝， ∵m2d，這不可能；故P在雙曲線的左支上，則PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.兩式相加得2PF2＝2a＋2d. 又PF2＝ed，從而ed＝a＋d.故d＝＝＝16.因此，P的橫坐標為－16＝－. 【答案】　－ 二、解答題 9．已知橢圓的一個焦點是F(3,1)，相應于F的準線為y軸，l是過F且傾斜角為60的直線，l被橢圓截得的弦AB的長是，求橢圓的方程． 【解】　設橢圓離心率為e，M(x，y)為橢圓上任一點， 由統(tǒng)一定義＝e，得＝e， 整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.① ∵直線l的傾斜角為60，∴直線l的方程為y－1＝(x－3)，② ①②聯(lián)立得(4－e2)x2－24x＋36＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得x1＋x2＝， ∴AB＝e(x1＋x2)＝e＝，∴e＝， ∴橢圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝x2， 即＋＝1. 10．已知定點A(－2，)，點F為橢圓＋＝1的右焦點，點M在橢圓上運動，求AM＋2MF的最小值，并求此時點M的坐標． 【解】　∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2， ∴離心率e＝. A點在橢圓內(nèi)，設M到右準線的距離為d， 則＝e，即MF＝ed＝d，右準線l：x＝8， ∴AM＋2MF＝AM＋d. ∵A點在橢圓內(nèi)， ∴過A作AK⊥l(l為右準線)于K，交橢圓于點M0. 則A，M，K三點共線，即M與M0重合時，AM＋d最小為AK，其值為8－(－2)＝10. 故AM＋2MF的最小值為10，此時M點坐標為(2，)． 能力提升] 1．已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|1＋2|的最小值是________. 【導學號：09390054】 【解析】　橢圓x2＋2y2＝2的標準方程是＋y2＝1， ∴a＝，b＝1. ∵1＋2＝2， ∴|＋|＝2||. ∵b≤||≤a， ∴1≤||≤， ∴|1＋2|的最小值是2. 【答案】　2 2．過圓錐曲線C的一個焦點F的直線l交曲線C于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與F相應的準線相交，則曲線C為________． 【解析】　設圓錐曲線的離心率為e，M為AB的中點，A，B和M到準線的距離分別為d1，d2和d，圓的半徑為R，d＝，R＝＝＝.由題意知R>d，則e>1，圓錐曲線為雙曲線． 【答案】　雙曲線 3．設橢圓C：＋＝1(a>b>0)恒過定點A(1,2)，則橢圓的中心到準線的距離的最小值為________． 【解析】　∵A(1,2)在橢圓上，∴＋＝1， ∴b2＝，則橢圓中心到準線距離的平方為2＝＝＝＝. 令a2－5＝t>0， f(t)＝＝t＋＋9≥9＋4. 當且僅當t＝時取“＝”， ∴≥ ＝＋2， ∴min＝＋2. 【答案】?。? 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點． (1)求證：PF⊥l； (2)若|PF|＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線的方程． 【解】　(1)證明：右準線為l2：x＝，由對稱性不妨設漸近線l為y＝x，則P，又F(c,0)， ∴kPF＝＝－. 又∵kl＝，∴kPFkl＝－＝－1. ∴PF⊥l. (2)∵|PF|的長即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距離， ∴＝3，即b＝3，又e＝＝， ∴＝，∴a＝4.故雙曲線方程為－＝1.