高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步單元測試三 簡單幾何體的面積和體積 北師大版必修2

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單元測試三　簡單幾何體的面積和體積 班級____　姓名____　考號____　分數(shù)____ 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘． 　 　　　　　　　　 　　　 　　　 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的． 1．兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑為(　　) A．2 B. C. D. 答案：C 解析：根據(jù)體積不變：π132＝πr3，解得r＝. 2．長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4，x，表面積為108，則x等于(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 答案：D 解析：該長方體的表面積為2(34＋3x＋4x)＝108，x＝6. 3．設等腰梯形ABCD是圓臺的一個軸截面，且AD∥BC，AB＝3，AD＝2，BC＝4，則圓臺的側面積為(　　) A．9π B．10π C．14π D．18π 答案：A 解析：由圓臺的軸截面及相關數(shù)據(jù)知圓臺的底面半徑分別為1,2，母線長為3，則圓臺的側面積為π(r1＋r2)l＝π(1＋2)3＝9π. 4．過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R，則a＝2R，所以球的表面積為S＝4πR2＝π(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1. 5．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是(　　) A．3 ＋ B.＋3 C．2 ＋3 D．3 ＋2 答案：B 解析：該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體的組合體，體積為V＝()3＋()2＝3 ＋. 6．一個棱長為a的正方體的頂點都在一個球面上，該球的表面積為3π，則a等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案：A 解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R，則a＝2R，所以球的表面積為S＝4πR2＝π(2R)2＝3πa2＝3π，a＝1. 7．兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積比是(　　) A．1：2：3 B．1：7：19 C．3：4：5 D．1：9：27 答案：B 解析：考查幾何體的體積．可以直接求，也可以用間接法．本題還可以選取特例或特殊值． 根據(jù)錐體的平行截面性質，如圖所示，三個圓錐高的比是1：2：3，從而它們的體積比是1：8：27.圓錐被分成的三部分的體積的比是1：7：19. 8．如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，高為1，M為線段AB的中點，則三棱錐C－MC1D1的體積為(　　) A. B. C．1 D. 答案：D 解析：S△C1D1C＝12＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝S△C1DCh＝12＝. 9．已知軸截面是正方形的圓柱，高與球的直徑相等，則圓柱的表面積和球的表面積的比是(　　) A．65 B．54 C．43 D．32 答案：D 解析：設球半徑為R，則圓柱的高為2R，底面圓的半徑為R，＝＝. 10．球面上有A，B，C三點，AB＝AC＝2，BC＝2 ，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為(　　) A．4π B．6π C．12π D．4 π 答案：C 解析：由題意知AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC為直角三角形，故△ABC所在圓的圓心在斜邊BC的中點處，則有R2＝12＋()2＝3，所以S球＝4πR2＝4π3＝12π，故選C. 二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上． 11．一個球的表面積是144πcm2，它的體積是________． 答案：288πcm3 解析：由公式得S＝4πR2＝144π，故R＝6.則V＝R3＝63＝288π. 12．已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V＝________. 答案：1＋ 解析：該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成，體積V＝1＋1＝1＋. 13．現(xiàn)要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3m，長和寬的和為20m，那么倉庫的容積的最大值是________m3. 答案：300 解析：設倉庫的長為x，則倉庫容積為3x(20－x)＝－3x2＋60x＝－3(x－10)2＋300，所以當倉庫底面為一邊長為10m的正方形時，容積最大為300m3. 三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15～18小題各10分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 14．已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長． 解：設圓臺的上、下底面半徑為r、R，母線為l，則有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝＝＝.即該圓臺的母線長為. 15．長、寬、高分別為80 cm,60 cm,50 cm的水槽中有水216 000 cm3. (1)求水槽中水面高度； (2)現(xiàn)在水槽中放入一個直徑為30 cm的鐵球，求此時水面的高度(結果保留一位小數(shù))． 解：設水面高度為x cm， (1)由8060x＝216 000得x＝45，所以水面高度為45 cm. (2)球體積為πr3＝4 500π，水槽體積為806050＝240 000， 由于240 000－216 000＝24 000>4 500π，所以8060x＝216 000＋4 500π，x＝45＋π≈47.9 此時水面高度約為47.9 cm. 16．已知三棱柱三個側面都是矩形，若底面的一邊長為2 cm，另兩邊長都為3 cm，側棱長為4 cm，求它的體積和表面積． 解：由題意設AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，則底面BC邊上的高為＝2， 所以體積為V＝224＝8 cm3， 表面積為S＝222＋(3＋3＋2)4＝4＋32(cm2)． 17．一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐內又有一個內切球，求： (1)圓錐的側面積； (2)圓錐的內切球的體積． 解：(1) 如圖所示，作軸截面，⊙O1內切于△ABC.設⊙O的半徑為R，由題意，得πR3＝972π，R3＝729，R＝9，∴CE＝18.由已知CD＝16，故ED＝2.連結AE，∵CE是⊙O的直徑，∴CA⊥AE，又AB⊥CE，∴CA2＝CDCE＝1618＝288，CA＝12 .AD2＝CDDE＝162＝32，AD＝4 . 于是S圓錐側＝π4 12 ＝96π. (2)設內切球半徑為r. ∵△ABC的周長為2(12 ＋4 )＝32 ， ∴r32 ＝8 16. ∴r＝4，于是V內切球＝πr3＝π. 18．斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC的射影O是△ABC的中心，AA1與AB的夾角為45. (1)求證：AA1⊥面A1BC； (2)求此棱柱的側面積； (3)求此棱柱的體積． 解：(1)如圖所示， ∵底面△ABC為正三角形，點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心， ∴點O在AD上，(D為BC中點)． ∵AD⊥BC，∴BC⊥AA1. 又∵A1點在面ABC上射影點O為△ABC的中心，而△ABC為正三角形，OA＝OB， ∴A1A＝A1B.又∵∠A1AB＝45， ∴△A1AB為等腰直角三角形，即AA1⊥A1B. ∵AA1⊥BC，A1B∩BC＝B， ∴AA1⊥面A1BC. (2)∵底面△ABC為正三角形，且點A1在面ABC上的射影點O為△ABC的中心， ∴側面AA1B1B與側面AA1C1C全等，由(1)知側面BB1C1C為矩形． ∵AB＝2， ∴S?AA1C1C＝2S△AA1B ＝2()2 ＝2， S?BB1C1C＝2＝2 . ∴S側＝22＋2 ＝4＋2 . (3)∵A1O＝＝ ＝， ∴V棱柱＝Sh＝AB2＝4＝.