高中數(shù)學(xué) 單元測(cè)試三 北師大版必修2

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單元測(cè)試三 　 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的． 1．過(guò)兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的方程為(　　) A．19x－9y＝0　 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0 答案：D 解析：解方程組得 ∴k＝－.又過(guò)原點(diǎn)，∴直線方程為3x＋19y＝0. 2．已知點(diǎn)A(1,2 ＋1)，B(－1,1)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則直線l的斜率為(　　) A．1 B. C. D．不存在 答案：B 解析：KAB＝ ，∴直線AB的傾斜角為60. ∴l(xiāng)的傾斜角為30，k＝tan30＝. 3．已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 答案：C 解析：由＝1得a＝ －1，a＝－ －1(舍去)． 4．三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構(gòu)成一個(gè)三角形，則k的范圍是(　　) A．k∈R B．k∈R且k≠1，k≠0 C．k∈R且k≠5，k≠－10 D．k∈R且k≠15，k≠1 答案：C 5．若點(diǎn)P(3,4)和點(diǎn)Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1 C．a(chǎn)＝4，b＝3 D．a(chǎn)＝5，b＝2 答案：D 解析：由題意，知，解得，故選D. 6．和直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是(　　) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案：B 解析：設(shè)對(duì)稱直線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y) 它關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y)． (x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上 ∴有3x－4(－y)＋5＝0即3x＋4y＋5＝0 即所求直線方程為3x＋4y＋5＝0. 7．直線l過(guò)原點(diǎn)(0,0)，且不過(guò)第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是(　　) A．[0，90] B．[90，180] C．[90，180)或α＝0 D．[90，135] 答案：C 解析：畫圖知l的傾斜角應(yīng)是鈍角或坐標(biāo)軸上的角，A中含銳角不正確，B中180不在其傾斜角的范圍內(nèi)應(yīng)被排除，D中含的角不全面． 8．設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為P，且傾斜角為α，若將其繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為α＋45，則(　　) A．0≤α<90 B．0≤α<135 C．0<α≤135 D．0<α<135 答案：D 解析：解答本題應(yīng)緊扣直線的傾斜角的取值范圍，還要注意到與x軸相交的直線的傾斜角不為0. 從而有， 所以0<α<135，故選D. 9．直線l過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且與點(diǎn)B(－3,2)的距離最遠(yuǎn)，則l的方程為(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 答案：D 解析：當(dāng)l⊥AB時(shí)符合要求，∵kAB＝＝，∴l(xiāng)的斜率為－3. ∴l(xiāng)的方程為y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0. 10．一條直線l被兩條直線4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則這條直線的方程是(　　) A．6x＋y＝0 B．6x－y＝0 C．x＋6y＝0 D．x－6y＝0 答案：C 解析：設(shè)l與4x＋y＋6＝0交于A(a，－4a－6)，l與直線3x－5y－6＝0，交于點(diǎn)B(b，)，由(0,0)為AB的中點(diǎn)，故可得A(－，)，由A，O兩點(diǎn)確定l. 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上． 11．已知直線l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)在y軸上的截距是在 x軸上的截距的2倍，則a的值為_(kāi)_______． 答案：－2或1 解析：當(dāng)直線l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)過(guò)原點(diǎn)，即－2－a＝0時(shí)，解得a＝－2，此時(shí)該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，所以在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，即a＝－2符合題意；當(dāng)直線l：(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)不過(guò)原點(diǎn)，即－2－a≠0，即a≠－2時(shí)，易知a≠－1，該直線在y軸上的截距是2＋a，在x軸上的截距是，所以由直線l在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，得2＝2＋a，解得a＝1.綜上所述，a的值為－2或1. 12．直線l經(jīng)過(guò)A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)_______． 答案：[0，45]∪(90，180) 解析：直線l的斜率k＝＝1－m2≤1.若直線l的傾斜角為α，則α≠90，且tanα≤1.又tan45＝1，且0≤α<180，∴0≤α≤45或90<α<180. 13．已知直線l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1與l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，則t的值為_(kāi)_______． 答案：－1或1 解析：①若l1的斜率不存在，此時(shí)t＝1，l1的方程為x＝，l2的方程為y＝－，顯然l1⊥l2，符合條件；若l2的斜率不存在，此時(shí)t＝－，易知l1與l2不垂直．②當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，直線l1的斜率k1＝－，直線l2的斜率k2＝－，∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即＝－1，所以t＝－1.綜上可知t＝－1或t＝1. 14．已知a，b，c為某一直角三角形的三邊長(zhǎng)，c為斜邊，若點(diǎn)(m，n)在直線ax＋by＋2c＝0上，則m2＋n2的最小值為_(kāi)_______． 答案：4 解析：求m2＋n2的最小值就是在直線ax＋by＋2c＝0上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方最小，因而其最小值為原點(diǎn)到直線ax＋by＋2c＝0的距離．由題意得到m2＋n2≥2＝＝＝4，∴m2＋n2的最小值為4. 15．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形OAB面積的最小值為_(kāi)_______． 答案：4 解析：設(shè)直線方程y－1＝k(x－2)，由已知k<0， 所以點(diǎn)A(2－，0)，點(diǎn)B(0,1－2k)， 所以S△OAB＝(2－)(1－2k) ＝2－(4k＋)， 由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)4k＝，即k＝－時(shí)，△OAB的面積最小，最小值為4. 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 16．(13分)求與直線3x－4y＋7＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為1的直線l的方程． 解：解法一：由題意知，可設(shè)l的方程為3x－4y＋m＝0.則l在x軸y軸上的截距分別為－、，由－＋＝1知，m＝－12.∴直線l的方程為：3x－4y－12＝0. 解法二：設(shè)直線方程為＋＝1， 由題意得解得 ∴直線l的方程為：＋＝1，即3x－4y－12＝0. 17．(13分)△ABC的頂點(diǎn)A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值． 解：若∠A為直角，則AC⊥AB， 所以kACkAB＝－1，即＝－1， 得m＝－7； 若∠B為直角，則AB⊥BC， 所以kABkBC＝－1， 即－＝－1，得m＝3； 若∠C為直角，則AC⊥BC， 所以kACkBC＝－1， 即＝－1，得m＝2. 綜上可知，m＝－7或m＝3或m＝2. 18．(13分)已知直線l過(guò)兩直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點(diǎn)，且A(2,3)，B(－4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求直線l的方程． 解：解方程組， 得，即交點(diǎn)為(－1,2)． ①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意得＝， 解得k＝－. ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. ②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則直線l的方程為x＝－1，符合題意． 綜上，可知所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1. 19．(13分)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，△OAB的面積為12，求直線l的方程． 解：解法一：由題意設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)， ∴A(a,0)，B(0，b)， ∴，解得. ∴直線l的方程為＋＝1， 即2x＋3y－12＝0. 解法二：由題意直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為 y－2＝k(x－3)(k≠0)， 令y＝0，得直線l在x軸上的截距a＝3－， 令x＝0，得直線l在y軸上的截距b＝2－3k. 又a>0，b>0，可得k<0， ∴(2－3k)＝24，解得k＝－，滿足題意． ∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)， 即2x＋3y－12＝0. 20．在△ABC中，BC邊上的高所在直線l1的方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在直線l2的方程為y＝0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)，求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)． 解：由題意知直線l1，l2的交點(diǎn)為A，則 ?，即A(－1,0)． 又l1⊥BC，∴kBC＝－1， ∴kBC＝＝－2. ∴由點(diǎn)斜式可得BC所在直線的方程為y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 又l2：y＝0是∠A的平分線所在的直線， ∴點(diǎn)B關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)B′在直線AC上，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(1，－2)，由兩點(diǎn)式可得直線AC的方程為x＋y＋1＝0. 由直線AC和BC的交點(diǎn)為C，可得?， ∴C(5，－6)． 21．(14分)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最?。? (2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大． 解：(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)， 則， 解得，故A′(－2,8)． 又P為直線l上的一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，解，得，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3)． (2)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，則||PB|－|PA||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)||PB|－|PA||取得最大值|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)． 又直線AB的方程為y＝x－2，解，得， 故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)．