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1、題型練6 大題專(zhuān)項(xiàng)(四)
立體幾何綜合問(wèn)題
1.如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求證:PC⊥AB;
(2)求點(diǎn)C到平面APB的距離.
2.(2018江蘇,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
3.已知PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BA⊥AD,CD=AD=AP=4,AB=2.
(1)求證:CD⊥平面ADP;
(2)若M為線段PC上的點(diǎn),當(dāng)
2、BM⊥PC時(shí),求三棱錐B-APM的體積.
4.(2019安徽淮南模擬,19)如圖,△ABC的外接圓O的直徑為AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.
(1)求證:平面ADC⊥平面BCDE;
(2)試問(wèn)在線段DE和BC上是否分別存在點(diǎn)M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,確定點(diǎn)M和點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
5.(2019天津,文17)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.
(
3、1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn),求證:GH∥平面PAD;
(2)求證:PA⊥平面PCD;
(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.
6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,過(guò)點(diǎn)A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點(diǎn)E,F,G(E,F,G三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).
(1)求證:平面PAB⊥平面PBC.
(2)若PC⊥平面AEFG,求PFPC的值.
(3)直線AE是否可能與平面PCD平行?證明你的結(jié)論.
題型練6 大題專(zhuān)項(xiàng)(四)
立體幾何綜合問(wèn)題
1.(1)證明取AB的中點(diǎn)D,連接PD,CD.∵
4、AP=BP,
∴PD⊥AB.
∵AC=BC,∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.
∵PC?平面PCD,∴PC⊥AB.
(2)解由(1)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD.
過(guò)C作CH⊥PD,垂足為H.
∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB.
∴CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面APB的距離.
由(1)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,
∴PC⊥平面ABC.
∵CD?平面ABC,∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中,CD=12AB=2,PD=32PB=6,∴PC=PD2-CD2=2.
CH=PC×CDPD=233,
∴點(diǎn)C
5、到平面APB的距離為233.
2.證明(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因?yàn)锳B?平面A1B1C,A1B1?平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.
又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因?yàn)锳B1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.
又因?yàn)锳1B∩BC=B,A1B?平面A1BC,BC?平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.
因?yàn)锳B1?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
3.(1)證明因
6、為PA⊥平面ABCD,PA?平面ADP,
所以平面ADP⊥平面ABCD.
因?yàn)槠矫鍭DP∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,
所以CD⊥平面ADP.
(2)解取CD的中點(diǎn)F,連接BF,在梯形ABCD中,因?yàn)镃D=4,AB=2,
所以BF⊥CD.又BF=AD=4,所以BC=25.
在△ABP中,由勾股定理求得BP=25.
所以BC=BP.又知點(diǎn)M在線段PC上,且BM⊥PC,所以點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
在平面PCD中過(guò)點(diǎn)M作MQ∥DC交DP于Q,連接QB,QA,則V三棱錐B-APM=V三棱錐M-APB=V三棱錐Q-APB=V三棱錐B-APQ=13×12×QP×AQ×2=13×22×2
7、2=83.
4.(1)證明∵△ABC的外接圓O的直徑為AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,
∴AC⊥BC,AC⊥DC.
∵BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.
∵AC?平面ADC,
∴平面ADC⊥平面BCDE.
(2)解存在點(diǎn)M和F,使得平面OMF∥平面ACD.
取BC的中點(diǎn)M,DE的中點(diǎn)F,連接OM,MF,OF.
∵O是AB的中點(diǎn),
∴OM∥AC,MF∥CD.
∵AC∩CD=C,OM∩MF=M,AC,CD?平面ACD,OM,MF?平面OMF,
∴平面OMF∥平面ACD.
5.(1)證明如圖,連接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.
又由BG=PG,故GH
8、∥PD.
又因?yàn)镚H?平面PAD,PD?平面PAD,所以GH∥平面PAD.
(2)證明取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA?平面PAC,故DN⊥PA.
又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.
(3)解連接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.
因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點(diǎn),所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD=33.
所以,直線AD與平面PAC所成角的正弦值為33.
6.(1)證明因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,
所以AB⊥BC,
所以BC⊥平面PAB.
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)解連接AF.
因?yàn)镻C⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.
又因?yàn)镻A=AC,
所以F是PC的中點(diǎn).
所以PFPC=12.
(3)解AE與平面PCD不可能平行.
證明如下:假設(shè)AE∥平面PCD,
因?yàn)锳B∥CD,AB?平面PCD,
所以AB∥平面PCD.
而AE,AB?平面PAB,所以平面PAB∥平面PCD,這顯然矛盾.
所以假設(shè)不成立,即AE與平面PCD不可能平行.
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