（通用版）2020版高考數學大二輪復習 能力升級練（二十七）數學文化 理

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1、能力升級練(二十七)　數學文化 一、選擇題 1.我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1 534石,驗得米內夾谷,抽樣取米一把,數得254粒內夾谷28粒,則這批米內夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 解析由分層抽樣的含義,該批米內夾谷約為28254×1534≈169(石). 答案B 2.(2019江西紅色七校聯考)《九章算術》之后,人們學會了用等差數列的知識來解決問題,《張丘建算經》卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現一月(按30天計)共織

2、390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織布的尺數是(　　) A.12 B.815 C.1631 D.1629 解析每天織布數依次構成一個等差數列{an},其中a1=5,設該等差數列的公差為d,則一月織布總數為S30=30×5+30×292d=150+435d=390,解之得d=1629. 答案D 3.(2018山東菏澤二模)歐陽修在《賣油翁》中寫到:“(翁)乃取一葫蘆置于地,以錢覆其口,徐以杓酌油瀝之,自錢孔入,而錢不濕”,可見賣油翁的技藝之高超,若銅錢直徑4厘米,中間有邊長為1厘米的正方形小孔,隨機向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計),則油恰好落入孔中的概率是(　　) A.2

3、π B.1π C.12π D.14π 解析易知銅錢的面積S=π×22=4π,銅錢小孔的面積S0=1.根據幾何概型,所求概率P=S0S=14π. 答案D 4.(2018河北衡水中學二調)《算學啟蒙》是由中國元代數學家朱世杰撰寫的一部數學啟蒙讀物,包括面積、體積、比例、開方、高次方程等. 名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的n等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析當n=1時,a=152,b=4,滿足進行循環(huán)的條件, 當n=2時

4、,a=454,b=8,滿足進行循環(huán)的條件, 當n=3時,a=1358,b=16,滿足進行循環(huán)的條件, 當n=4時,a=40516,b=32,不滿足進行循環(huán)的條件,退出循環(huán).故輸出的n值為4. 答案C 5.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了(　　) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 解析依題意,6天中每天行走的路程構成一個等比數列,記

5、為{an},其中公比q=12.由題設有a11-1261-12=378,解得a1=192.則a2=a1q=192×12=96.所以第二天走了96里. 答案B 6.(2019湖南郴州第二次質檢)我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(　　) (注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式V=13(S上+S上S下+S下)·h) A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸 解析易知水面半徑是10寸,根據題意可得平地降雨量=

6、13×9×(102π+102π×62π+62π)142π=3,故選B. 答案B 7.我國南北朝時期數學家、天文學家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“冪勢即同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A.4-π2 B.8-4π3 C.8-π D.8-2π 解析由三視圖知,該幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱. V正方體=23=8,V半圓柱=12(π×12)×2=π, ∴三視圖對應幾何體的體積V=8-π.

7、 根據祖暅原理,不規(guī)則幾何體的體積V'=V=8-π. 答案C 8.(2019河南新鄉(xiāng)三模)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈;上袤二丈,無廣;高一丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈;上棱長2丈,高1丈.問它的體積是多少?”已知1丈為10尺,現將該楔體的三視圖給出如下圖所示,其中網格紙上小正方形的邊長為1丈,則該楔體的體積為(　　) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析該楔形的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF,取AB的中點

8、G,CD的中點H,連接FG,GH,HF,則該幾何體的體積為四棱錐F-GBCH與三棱柱ADE-GHF的體積之和,而三棱柱ADE-GHF可通過割補法得到一個高為EF,底面積為S=12×3×1=32(平方丈)的一個直棱柱,故該楔形的體積V=32×2+13×2×3×1=5(立方丈)=5000(立方尺). 答案A 9.(2015全國Ⅰ,理6)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”

9、已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 解析設米堆的底面半徑為r尺,則π2r=8,所以r=16π,所以米堆的體積為V=14×13π×r2×5=π12×16π2×5≈3209(立方尺). 故堆放的米約有3209÷1.62≈22(斛). 答案B 10.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著,以其名命名的函數f(x)=1,x為有理數,0,x為無理數稱為狄利克雷函數,則關于函數f(x)有以下四個命題: ①f(f(x))=1; ②函數f(x)是偶函數; ③任意一個非零有理數T,f(x+T)=f(x)對

10、任意x∈R恒成立; ④存在三個點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC為等邊三角形. 其中真命題的個數是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析由f(x)是有理數?f(f(x))=1,故命題①正確;易得f(-x)=f(x)?f(x)是偶函數,故②正確;易得f(x+T)=f(x)成立,故③正確;取A1-33,0,B(1,1),C1+33,0,可得△ABC為等邊三角形,故④正確,綜上真命題的個數有4個. 答案A 二、填空題 11.第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的.如圖所示,會標是由四個全等的

11、直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為θ,那么tanθ+π4=　　　　　.? 解析依題意得大、小正方形的邊長分別是5,1, 于是有5sinθ-5cosθ=10<θ<π2, 則sinθ-cosθ=15. 從而(sinθ+cosθ)2=2-(sinθ-cosθ)2=4925, 則sinθ+cosθ=75, 因此sinθ=45,cosθ=35,tanθ=43. 故tanθ+π4=tanθ+11-tanθ=-7. 答案-7 12.數學與文學有許多奇妙的聯系,如詩中有回文詩:“兒憶父兮妻憶夫”,既可以順讀也可以

12、逆讀.數學中有回文數,如343、12521等,兩位數的回文數有11、22、33、…、99共9個,則三位數的回文數中,偶數的概率是　　　　　.? 解析三位數的回文數為ABA, A共有1到9共9種可能,即1B1、2B2、3B3、… B共有0到9共10種可能,即A0A、A1A、A2A、A3A、… 共有9×10=90個, 其中的偶數即為A是偶數,共4種可能,即2B2,4B4,6B6,8B8, B共有0到9共10種可能. 共有4×10=40個, ∴三位數的回文數中,偶數的概率P=4090=49. 答案49 13.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩

13、鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半,問幾天兩只老鼠能相遇,相遇時各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則Sn=　　　　　尺.? 解析由題意可知大老鼠每天打洞的距離是以1為首項,以2為公比的等比數列,前n天打洞之和為1-2n1-2=2n-1,同理,小老鼠每天打洞的距離1-12n1-12=2-12n-1,所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1. 答案2n-12n-1+1 14.《九章算術》是我

14、國古代數學名著,書中有如下問題:“今有勾五步,股一十二步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步,問其內切圓的直徑為多少步?”現從該三角形內隨機取一點,則此點取自內切圓的概率是　　　　　.? 解析因為該直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步,所以其斜邊長為13步,設其內切圓的半徑為r,則12×5×12=12(5+12+13)r,解得r=2.由幾何概型的概率公式,得此點取自內切圓內的概率P=4π12×5×12=2π15. 答案2π15 15.(2019廣西南寧質檢)如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連

15、接正方形,如此繼續(xù),若共得到4 095個正方形,設初始正方形的邊長為22,則最小正方形的邊長為　　　　　.? 解析依題意,正方形的邊長構成以22為首項,公比為22的等比數列,因為共有4095個正方形,則1+2+22+…+2n-1=4095,∴n=12. 所以最小正方形的邊長為22×2212-1=2212=164. 答案164 圖1 16.在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖1所示的三角形,解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國數學家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形.近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國,所以有些書上

16、稱這是“中國三角形”(Chinese triangle).17世紀德國數學家萊布尼茨發(fā)現了“萊布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式:Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,其中n是行數,r∈N.請類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關系式是　　　　　.? 圖2 解析類比觀察得,將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數1Cn+11,而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之數,故類比式子Cnr+Cnr+1=Cn+1r+1,有1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr. 答案1Cn+21Cn+1r+1Cn+21Cn+1r+1=1Cn+11Cnr 11