（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練26 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題 文

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1、專題突破練26　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題 1.(2019北京房山區(qū)高三第一次模擬測(cè)試)已知橢圓x24+y23=1,過坐標(biāo)原點(diǎn)O做兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于M,N兩點(diǎn). (1)求橢圓的離心率; (2)求證:點(diǎn)O到直線MN的距離為定值. 2.(2019遼寧丹東高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試一)已知離心率為2的雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為3. (1)求雙曲線C的方程; (2)設(shè)A1,A2分別為C的左、右頂點(diǎn),P為C異于A1,A2的一點(diǎn),直線A1P與A2P分別交y軸于M,N兩點(diǎn),求證:以線段MN為直

2、徑的圓D經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn). 3.(2019山東聊城高三三模)設(shè)橢圓C:x24+y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且F1Q+F1F2=0. (1)求橢圓C的方程; (2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F2作斜率為1的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),試在x軸上求一點(diǎn)P,使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形. 4.(2019江西新八校高三第二次聯(lián)考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),c

3、=3,左、右焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P,A,B在橢圓C上,且點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線PA,PB的斜率的乘積為-14. (1)求橢圓C的方程; (2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)Q(2,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,若|QM||QN|=163,判斷直線l的斜率是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由. 5.(2019山東青島高考模擬檢測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),S(32,0),動(dòng)點(diǎn)N滿足|NF1|+|NS|=43,點(diǎn)P為線段NF1的中點(diǎn),拋物線C:x2=2my(m>0)上點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為6,OA·OS=66. (

4、1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)Q滿足OP⊥OQ,試判斷1|OP|2+1|OQ|2是否為定值?若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由. 6. (2019山東日照高三5月校際聯(lián)合考試)如圖,已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(4,0)是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),弦BC過橢圓的中心O,且cos=21313,|OC-OB|=2|BC-BA|. (

5、1)求橢圓E的方程. (2)過橢圓E右焦點(diǎn)F的直線,交橢圓E于A1,B1兩點(diǎn),交直線x=8于點(diǎn)M,判定直線CA1,CM,CB1的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?請(qǐng)說明理由. 參考答案 專題突破練26　圓錐曲線中的定 點(diǎn)、定值與存在性問題 1.(1)解由橢圓的方程x24+y23=1,可得a=2,b=3,∴c2=a2-b2=1. ∴橢圓的離心率e=ca=12. (2)證明當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),∠MON=90°,不妨設(shè)M(x0,x0),則有N(x0,-x0). 又M,N兩點(diǎn)在橢圓上,∴x024+x023=1,∴x02=127. ∴點(diǎn)

6、O到直線MN的距離d=127=2217. 當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為y=kx+m. 由y=kx+m,x24+y23=1,消去y得(3+4k2)·x2+8kmx+4m2-12=0,則Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2). ∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2. ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0. ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. ∴(k2+1)·4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0.

7、 整理得7m2=12(k2+1),滿足Δ>0, ∴點(diǎn)O到直線MN的距離d=|m|k2+1=127=2217. 綜上所述,點(diǎn)O到直線MN的距離為定值2217. 2.(1)解設(shè)C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), 因?yàn)殡x心率為2,所以c=2a,b=3a. 所以C的漸近線為3x±y=0, 不妨取其中一條3x+y=0. 由3=|3c-0|(3)2+12,得c=2. 于是a=1,b=3, 故雙曲線C的方程為x2-y23=1. (2)證明設(shè)P(x0,y0)(x0≠±1),因?yàn)锳1(-1,0),A2(1,0), 可得直線A1P與A2P的方程分別為y=y0x0+1(x+1),y

8、=y0x0-1(x-1). 由題設(shè),所以M0,y0x0+1,N0,-y0x0-1,|MN|=2x0y0x02-1,MN中點(diǎn)坐標(biāo)0,y01-x02, 于是圓D的方程為x2+y-y01-x022=x02y02(x02-1)2. 因?yàn)閤02-y023=1,所以圓D的方程可化為x2+y2+6y0y-3=0. 當(dāng)y=0時(shí),x=±3,因此D經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)(-3,0)和(3,0). 3.解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),則點(diǎn)F1坐標(biāo)為(-c,0),點(diǎn)F2坐標(biāo)為(c,0). 設(shè)Q(x0,0),且x0<0,則F1Q=(x0+c,0),F1F2=(2c,0), ∵F1Q+F1F2=0,則x0+c

9、+2c=0, ∴x0=-3c,即點(diǎn)Q(-3c,0). ∵直線AF2與直線AQ垂直,且點(diǎn)A(0,b), ∴AF2=(c,-b),AQ=(-3c,-b). 由AF2·AQ=b2-3c2=0,得b2=3c2, ∵4=b2+c2=4c2,∴c=1,b=3. 因此,橢圓C的方程為x24+y23=1. (2)由(1)得F2(1,0).設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l的方程為y=x-1. 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立y=x-1,x24+y23=1,消去y并整理得7x2-8x-8=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=87,x1x2=-87,所以x1+x22=47. 因此,線段MN的

10、中點(diǎn)為E47,-37. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),由于以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,則PE⊥MN. 所以直線PE的斜率為kPE=37t-47=37t-4=-1,解得t=17. 因此,當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為17,0時(shí),以PM,PN為鄰邊的平行四邊形為菱形. 4.解(1)設(shè)A(x1,y1),P(x2,y2),則B(-x1,-y1). 點(diǎn)A,P在橢圓上,有x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1. 兩式作差,整理得x12-x22a2+y12-y22b2=0. 則y12-y22x12-x22=-b2a2. kPA·kPB=y1-y2x1-x2·-y1-y2-x1-x2=y1

11、2-y22x12-x22=-b2a2=-14. 又c=3,a2=b2+c2,可得a2=4,b2=1,c2=3. ∴橢圓C的方程為x24+y2=1. (2)由題意知直線l存在斜率.設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-2), 將其代入x24+y2=1,整理可得(1+4k2)x2+16k(1-k)x+16(1-k)2-4=0,則Δ=[16k(1-k)]2-4(1+4k2)[16(1-k)2-4]>0,得k>38. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=16k(k-1)1+4k2,x1x2=16(1-k)2-41+4k2=4(4k2-8k+3)1+4k2. ∵|QM||QN|=1

12、63,且=0, ∴QM·QN=163. ∵QM=(x1-2,y1-2),QN=(x2-2,y2-2), ∴(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=163. ∵y1=k(x1-2)+2,y2=k(x2-2)+2, ∴(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=(x1-2)(x2-2)(1+k2)=[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=163. ∴4(4k2-8k+3)1+4k2-2×16k(k-1)1+4k2+4(1+k2)=163. 化簡(jiǎn)得16(1+k2)1+4k2=163,解得k2=2. ∵k>38,∴k=2. ∴直線l的斜率為定

13、值2. 5.解(1)由題知|PF2|=|NS|2,|PF1|=|NF1|2, 所以|PF1|+|PF2|=|NF1|+|NF2|2=23>|F1F2|, 因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,又知2a=23,2c=22, 所以曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y2=1. 又由題知A(xA,6),所以O(shè)A·OS=(xA,6)·(32,0)=32xA=66,所以xA=23. 又因?yàn)辄c(diǎn)A(23,6)在拋物線C上,所以m=6,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=26y. (2)設(shè)P(xP,yP),QxQ,-62, 由題知OP⊥OQ,所以xPxQ-6yP2=0,即xQ=6yP2xP(xP≠0)

14、, 所以1|OP|2+1|OQ|2=1xP2+yP2+13yP22xP2+32=3+2xP23(xP2+yP2). 又因?yàn)閤P23+yP2=1,yP2=1-xP23, 所以3+2xP23(xP2+yP2)=3+2xP23(xP2+1-xP23)=1. 所以1|OP|2+1|OQ|2為定值,且定值為1. 6.解(1)由|OC-OB|=2|BC-BA|, 得|BC|=2|AC|,即|OC|=|AC|, 所以△AOC是等腰三角形. 又a=|OA|=4,故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2. 又cos=21313, 設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yC,OA=(4,0),CA=(2,-yC) 4×2

15、4yC2+22=21313,解得yC=±3,應(yīng)取C(2,3), 又點(diǎn)C在橢圓上,∴2242+32b2=1,解得b2=12. ∴所求橢圓的方程為x216+y212=1. (2)由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為F(2,0),C(2,3), 由題意可知直線CA1,CM,CB1的斜率存在, 設(shè)直線A1B1的方程為y=k(x-2), 代入橢圓x216+y212=1并整理,得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0. 設(shè)A1(x1,y1),B1(x2,y2),直線CA1,CM,CB1的斜率分別為k1,k2,k3,則有x1+x2=16k23+4k2,x1x2=16k2-483+4k2. 可知M的坐標(biāo)為M(8,6k). ∴k1+k3=y1-3x1-2+y2-3x2-2 =k(x1-2)-3x1-2+k(x2-2)-3x2-2 =2k-3·x1+x2-4x1x2+4-2(x1+x2) =2k-1. 又2k2=2·6k-38-2=2k-1, ∴k1+k3=2k2. 即直線CA1,CM,CB1的斜率成等差數(shù)列. 15