2、∠PF1F2＝30°，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故選D.
答案 D
4.(2015·全國Ⅰ卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析 拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a＞b＞0)，因?yàn)殡x心率e＝＝，所以
3、a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6.故選B.
答案 B
5.(2016·江西師大附中模擬)橢圓ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為( )
A. B. C. D.
解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，
＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故選B.
答案 B
二、填空題
6.焦距是8，離心率等于0.8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析 由題意知解得
又b2＝a
4、2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為＋＝1，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7.(2017·昆明質(zhì)檢)橢圓＋＝1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
解析 記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
則m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí)，m取得最大值25.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
8.(2017·烏魯木齊調(diào)研)已知F1(－c，0)
5、，F(xiàn)2(c，0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________.
解析 設(shè)P(x，y)，則·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
將y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
三、解答題
9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，
6、求a，b.
解 (1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).故C的離心率為.
(2)由題意，知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0，2)是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 .
10.(2017·興義月考)已知點(diǎn)M(，)在橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上，且橢圓的離心率
7、為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(－3，2)，求△PAB的面積.
解 (1)由已知得
解得
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為D(x0，y0).
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
則x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因?yàn)锳B是等腰三角形PAB的底邊，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此時(shí)x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
則|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又點(diǎn)P到
8、直線l：x－y＋2＝0的距離為d＝，
所以△PAB的面積為S＝|AB|·d＝.
11.(2016·海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知直線l：y＝kx＋2過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，若L≥，則橢圓離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析 依題意，知b＝2，kc＝2.
設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2≥，
解得d2≤.又因?yàn)閐＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故選B.
答案 B
12.橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動點(diǎn)，若∠F1PF2
9、為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________.
解析 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
則＝(x＋，y)，＝(x－，y).
∵∠F1PF2為鈍角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
即x2<2，∴x2<.
解得－b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________.
解析 由已知條件易得B，C，F(xiàn)(c，0)，∴＝，＝，
由∠BFC＝90°，可得·＝0，
所以＋＝0，
10、
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
∴3c2＝2a2.
所以＝，則e＝＝.
答案
14.(2017·沈陽質(zhì)監(jiān))已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝6，直線y＝kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn).
(1)若△AF1F2的周長為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若k＝，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；
(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k1∈(－2，－1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍.
解 (1)由題意得c＝3，根據(jù)2a＋2c＝16，得a＝5.
結(jié)合a2＝b
11、2＋c2，
解得a2＝25，b2＝16.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2⊥BF2，
因?yàn)椋?x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，
所以有＝－8，
結(jié)合b2＋9＝a2，
解得a2＝12，∴e＝.
法二 設(shè)A(x1，y1)，又AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑，所以x＋y＝9，
又由橢圓及直線方程綜合可得
由前兩個(gè)方程解得x＝8，y＝1，
將其代入第三個(gè)方程并結(jié)合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的結(jié)論知，橢圓方程為＋＝1，
由題可設(shè)A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，
又＝＝－.
即k2＝－，
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
故直線PB的斜率k2的取值范圍是.
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（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第5講 橢圓練習(xí)（含解析）
