（全國通用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提分教程 中難提分突破特訓(xùn)（一）理

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1、中難提分突破特訓(xùn)(一) 1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足＝. (1)求角A的大小； (2)若D為BC邊上一點，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a. 解　(1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB， 由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB， 整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB， 即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC. 又sinC≠0，所以cosA＝， 因為A∈(0，π)，所以A＝. (2)如圖，過點D作DE∥AC交AB于點E， 又CD＝2DB，∠BAC＝， 所以ED＝

2、AC＝1，∠DEA＝. 由余弦定理可知， AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos， 解得AE＝4，則AB＝6. 又AC＝3，∠BAC＝， 所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3. 2．已知長方形ABCD中，AB＝1，AD＝.現(xiàn)將長方形沿對角線BD折起，使AC＝a，得到一個四面體A－BCD，如圖所示． (1)試問：在折疊的過程中，異面直線AB與CD，AD與BC能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的a值；若不垂直，請說明理由； (2)當(dāng)四面體A－BCD的體積最大時，求二面角A－CD－B的余弦值． 解　(1)若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得 AB⊥平面ACD，

3、所以AB⊥AC. 所以AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1. 若AD⊥BC，由AD⊥AB，AB∩BC＝B，得 AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC， 所以AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12， 所以a2＝－1，無解，故AD⊥BC不成立． (2)要使四面體A－BCD的體積最大， 因為△BCD的面積為定值， 所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可， 此時平面ABD⊥平面BCD， 過點A作AO⊥BD于點O，則AO⊥平面BCD， 以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，則易知A，C，D， 顯然，平面BCD的一個法向量為＝. 設(shè)平面ACD的法向

4、量為n＝(x，y，z)． 因為＝，＝， 所以令y＝，得n＝(1，，2)． 觀察可知二面角A－CD－B為銳二面角， 故二面角A－CD－B的余弦值為 |cos〈，n〉|＝＝. 3．已知動點P與兩個定點O(0,0)，A(3,0)的距離的比為. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)過點B(－2,1)的直線l與曲線C交于M，N兩點，求線段MN長度的最小值； (3)已知圓Q的圓心為Q(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，若圓Q與曲線C有公共點，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由題意，設(shè)P(x，y)， 則|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2， 所以(x－3)2＋y2＝

5、4(x2＋y2)， 整理得(x＋1)2＋y2＝4. 所以動點P的軌跡C的方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知軌跡C是以C(－1,0)為圓心，以2為半徑的圓． 又因為(－2＋1)2＋12<4，所以點B在圓內(nèi)， 所以當(dāng)線段MN的長度最小時，BC⊥MN， 所以圓心C到直線MN的距離為 |BC|＝＝， 此時，線段MN的長為 |MN|＝2＝2×＝2， 所以，線段MN長度的最小值為2. (3)因為點Q的坐標(biāo)為(t，t)(t>0)，且圓Q與x軸相切，所以圓Q的半徑為t， 所以圓Q的方程為(x－t)2＋(y－t)2＝t2. 因為圓Q與圓C有公共點， 又圓Q與圓C的兩圓心

6、距離為 |CQ|＝＝， 所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t， 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2≤t≤3. 所以實數(shù)t的取值范圍是[－3＋2，3]． 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的普通方程為y＝x.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋. 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 得曲線C1的普通方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4， 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ－3)

7、2＝4， 即ρ2－6ρcosθ－6ρsinθ＋14＝0. 因為直線C2過原點，且傾斜角為， 所以直線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (2)設(shè)點A，B對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2， 由 得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0， 所以ρ1＋ρ2＝3＋3，ρ1ρ2＝14， 又ρ1>0，ρ2>0， 所以＋＝＝＝. 5．設(shè)f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時，解不等式f(x)≤4； (2)若f(x)≥4，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|x|＋2|x－1|， 當(dāng)x<0時，由2－3x≤4，得－≤x<0； 當(dāng)0≤x≤1時，由2－x≤4，得0≤x≤1； 當(dāng)x>1時，由3x－2≤4，得1