(全國(guó)通用)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四層熱身篇 專(zhuān)題檢測(cè)(六)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、專(zhuān)題檢測(cè)(六) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組——“6+3+3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.(2019·合肥市第一次質(zhì)檢)已知cos α-sin α=,則cos=(  ) A.-          B.- C. D. 解析:選C 由cos α-sin α=,得1-sin 2α=,所以sin 2α=,所以cos=sin 2α=,故選C. 2.(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1,則(  ) A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3 D.

2、f(x)的最小正周期為2π,最大值為4 解析:選B f(x)=2sin xcos x+2cos2x+1=sin 2x+cos 2x+2=2sin+2,則f(x)的最小正周期為=π,最大值為2+2=4.故選B. 3.(2019·四川攀枝花模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,現(xiàn)將此圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為(  ) A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin C.g(x)=2sin D.g(x)=2sin 解析:選D 根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象可得A=2,·=+,∴ω=2. 再根據(jù)五

3、點(diǎn)法作圖可得2×+φ=,∴φ=-, ∴函數(shù)f(x)=2sin=2sin 2. 把f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=2sin 2=2sin的圖象,故選D. 4.(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))將函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間[-m,m]上單調(diào)遞增,則m的最大值為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin=cos,由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以當(dāng)k=0時(shí)函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是,所以m的最大值為.故選A.

4、 5.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin |x|+|sin x|有下述四個(gè)結(jié)論: ①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增; ③f(x)在[-π,π]有4個(gè)零點(diǎn);④f(x)的最大值為2. 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(  ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 解析:選C ①中,f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin |x|+|sin x|=f(x),∴f(x)是偶函數(shù),①正確. ②中,當(dāng)x∈時(shí),f(x)=sin x+sin x=2sin x,函數(shù)單調(diào)遞減,②錯(cuò)誤. ③中,當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0, 當(dāng)x∈(0,π]時(shí),f(x)=2sin

5、 x,令f(x)=0,得x=π. 又∵f(x)是偶函數(shù), ∴函數(shù)f(x)在[-π,π]上有3個(gè)零點(diǎn),③錯(cuò)誤. ④中,∵sin |x|≤|sin x|,∴f(x)≤2|sin x|≤2, 當(dāng)x=+2kπ(k∈Z)或x=-+2kπ(k∈Z)時(shí), f(x)能取得最大值2,故④正確. 綜上,①④正確. 故選C. 6.(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)的部分圖象如圖所示,f(a)=f(b)=0,f(a+b)=,則(  ) A.f(x)在上是減函數(shù) B.f(x)在上是增函數(shù) C.f(x)在上是減函數(shù) D.f(x)在上是增函數(shù) 解析:選B 由題圖

6、可知A=2,則f(x)=2sin(2x+θ). 因?yàn)閒(a)=f(b)=0,所以f=2, 則sin(a+b+θ)=1,a+b+θ=+2kπ,k∈Z. 由f(a+b)=得sin[2(a+b)+θ]=, 2(a+b)+θ=+2kπ,k∈Z,或2(a+b)+θ=+2kπ,k∈Z, 所以θ=+2kπ或θ=+2kπ,k∈Z,又|θ|<,所以θ=, f(x)=2sin.當(dāng)x∈時(shí),2x+∈, 所以f(x)在上是增函數(shù).當(dāng)x∈時(shí),2x+∈(π,2π), 所以f(x)在上先減后增.故選B. 二、填空題 7.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=sin-3cos x的最小值為_(kāi)_______.

7、 解析:∵ f(x)=sin-3cos x =-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令t=cos x,則t∈[-1,1], ∴ f(x)=-2t2-3t+1. 又函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸t=-∈[-1,1],且開(kāi)口向下,∴ 當(dāng)t=1時(shí),f(x)有最小值-4. 答案:-4 8.(2019·福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合,終邊交單位圓O于點(diǎn)P(a,b),且a+b=,則cos的值是________. 解析:由三角函數(shù)的定義知cos α=a,sin α=b,∴cos α+sin α=a+b=,∴(cos

8、α+sin α)2=1+sin 2α=, ∴sin 2α=-1=,∴cos=-sin 2α=-. 答案:- 9.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)在區(qū)間[2,4]上單調(diào),且f(2)=1,f(4)=-1,則ω=________,f(x)在區(qū)間上的值域是________. 解析:由題意知f(x)的最小正周期T=4,∴ω=, ∴f(x)=sin.又f(2)=sin(π+φ)=1, ∴π+φ=+2kπ,k∈Z. 又|φ|<π,∴φ=-,∴f(x)=sin. 由x∈,得x-∈, ∴sin∈, 即f(x)在區(qū)間上的值域?yàn)? 答案:  三、解答題 10.已知函數(shù)

9、f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換得到. 解:(1)由題圖可知,A=2,T=4=π, ∴=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),∵f=0, ∴sin=0,∴φ+=kπ,k∈Z, 即φ=-+kπ,k∈Z. ∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin. (2)y=sin 2x-cos 2x =2sin =2sin, 故將函數(shù)y=sin 2x-cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y=f(x)的圖象. 11.已知m=

10、,n=(cos x,1). (1)若m∥n,求tan x的值; (2)若函數(shù)f(x)=m·n,x∈[0,π],求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)由m∥n得,sin-cos x=0,展開(kāi)變形可得,sin x=cos x,即tan x=. (2)f(x)=m·n=sincos x+1 =sin xcos x-cos2x+1 =sin 2x-+1 =+ =sin+, 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 又x∈[0,π],所以當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 12.已知函數(shù)f(x)=cos x(2sin x+cos x

11、)-sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若當(dāng)x∈時(shí),不等式f(x)≥m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:(1)f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x =sin 2x+cos 2x =2 =2sin, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π. (2)由題意可知,不等式f(x)≥m有解, 即m≤f(x)max, 因?yàn)閤∈,所以2x+∈, 故當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)取得最大值, 且最大值為f=2. 從而可得m≤2. 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,2]. B組——大題專(zhuān)攻強(qiáng)化練 1.已知函數(shù)f(x)=sin24x+sin 4xc

12、os 4x. (1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值. 解:(1)f(x)=sin24x+sin 4xcos 4x =×+sin 8x =sin 8x-cos 8x+ =sin+. 令8x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=+(k∈Z). (2)由(1)得f(x)=sin+. 因?yàn)閤∈,所以∈.故sin∈. 所以-1+≤sin+≤, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-1+. 2.已知向量m=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0),函

13、數(shù)f(x)=m·n+,直線x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸,且|x1-x2|的最小值為. (1)求ω的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)因?yàn)橄蛄縨=(2sin ωx,sin ωx),n=(cos ωx,-2sin ωx)(ω>0),所以函數(shù)f(x)=m·n+=2sin ωxcos ωx+sin ωx(-2sin ωx)+=sin 2ωx-2sin2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin. 因?yàn)橹本€x=x1,x=x2是函數(shù)y=f(x)的圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸,且|x1-x2|的最小值為,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為×2=π,即=π,

14、得ω=1. (2)由(1)知,f(x)=2sin, 令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 3.已知函數(shù)f(x)=sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(0<ω<1),若點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心. (1)求f(x)的解析式,并求距y軸最近的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程; (2)先列表,再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象. 解:(1)f(x)=sin 2ωx+(cos2ωx-sin2ωx)·(cos2ωx+sin2ωx)+1 =sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin

15、+1. ∵點(diǎn)是函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心, ∴-+=kπ,k∈Z,∴ω=-3k+,k∈Z. ∵0<ω<1,∴k=0,ω=,∴f(x)=2sin+1. 由x+=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z, 令k=0,得距y軸最近的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=. (2)由(1)知,f(x)=2sin+1,當(dāng)x∈[-π,π]時(shí),列表如下: x+ - - 0 π x -π - - π f(x) 0 -1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上的圖象如圖所示. 4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離

16、為,且在x=時(shí)取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)當(dāng)x∈時(shí),若方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,分別為x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范圍. 解:(1)由題意,T=2×=π,故ω==2, 所以sin=sin=1, 所以+φ=2kπ+,k∈Z, 所以φ=2kπ+,k∈Z. 因?yàn)?≤φ≤,所以φ=, 所以f(x)=sin. (2)畫(huà)出該函數(shù)的圖象如圖,當(dāng)≤a<1時(shí),方程f(x)=a恰好有三個(gè)根,且點(diǎn)(x1,a)和(x2,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),點(diǎn)(x2,a)和(x3,a)關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),所以x1+x2=,π≤x3<,所以≤x1+x2+x3<, 故x1+x2+x3的取值范圍為. - 10 -

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