（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第四層熱身篇 專題檢測（二十二）函數(shù)、導數(shù)與方程

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1、專題檢測（二十二） 函數(shù)、導數(shù)與方程 大題專攻強化練 1．(2019·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)為f(x)的導數(shù)． (1)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點； (2)若x∈[0，π]時，f(x)≥ax，求a的取值范圍． 解：(1)證明：設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x. 當x∈時，g′(x)>0；當x∈時，g′(x)<0， 所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2， 故g(x)在(0，π)存在唯一零點． 所以f′(x)在區(qū)

2、間(0，π)存在唯一零點． (2)由題設(shè)知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0. 由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一個零點，設(shè)為x0，且當x∈(0，x0)時，f′(x)>0；當x∈(x0，π)時，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，π)上單調(diào)遞減． 又f(0)＝0，f(π)＝0，所以當x∈[0，π]時，f(x)≥0. 又當a≤0，x∈[0，π]時，ax≤0，故f(x)≥ax. 因此，a的取值范圍是(－∞，0]． 2．(2019·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ln x－x－1.證明： (1)f(x)存在唯一的極值點； (2)f(x)＝

3、0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù)． 證明：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因為y＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0， 故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0. 又當xx0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， 因此，f(x)存在唯一的極值點． (2)由(1)知f(x0)0， 所以f(x)＝

4、0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得<1

5、f(x)單調(diào)遞減，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， ∴f(x)的極小值點為x＝，無極大值點． (2)∵f′(x)＝(x＞0且a＞0)， ∴當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， ∴f(x)≥f＝a＋aln . ∵關(guān)于x的不等式f(x)＜2有解，∴a＋aln ＜2. ∵a＞0，∴l(xiāng)n＋1－＜0. 令g(x)＝ln x＋1－x，則g′(x)＝－1＝， 當x∈(0，1)時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增， 當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減， ∴g(x)≤g(1)＝0，∴由ln ＋1－＜0可解得＞

6、0且≠1， ∴a的取值范圍是. 4．(2019·蘭州市診斷考試)已知函數(shù)f(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)ln x，a∈R. (1)當a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)試判斷當a∈[－1，1]時，函數(shù)y＝f(x)的零點的個數(shù)，并說明理由． 解：(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋ln x， ∴f′(x)＝x－2＋＝＝≥0， ∴函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間． (2)①當a＝0，f(x)＝x2－2x＝(x－2)2－2(x＞0)， 由于f(4)＝0，

7、故函數(shù)有且只有一個零點． ②當a＝－1時，由(1)知函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)， 由于f(e)＝－2e＋1＝＜0， f(e2)＝－2e2＋2＝＞0，故函數(shù)有且只有一個零點． ③當－1＜a＜0或0＜a≤1時，a＋2＞a2＞0， 可得當x∈(0，a2)時，f′(x)＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當x∈(a2，a＋2)時，f′(x)＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當x∈(a＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)為增函數(shù)． ∴當x＝a2時，函數(shù)有極大值f(a2)＝a2[a2－2(a2＋a＋2)＋2(a＋2)ln a2] ＝a2[－a2－2(a＋2)＋2(a＋2)ln a2]， 當－1＜a＜0或0＜a≤1時，a2≤1，∴f(a2)＜0， 又f(e3)＞0，故函數(shù)有且只有一個零點． 綜上可知，當a∈[－1，1]時，函數(shù)y＝f(x)有且只有一個零點． - 4 -