（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題提分教程 中難提分突破特訓（六）理

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1、中難提分突破特訓(六) 1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為S，且(b2＋c2－a2)＝4S. (1)求角A的大??； (2)若a＝，當b＋2c取得最大值時，求cosB. 解　(1)由已知(b2＋c2－a2)＝4S＝2bcsinA， 由余弦定理得2bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝， 因為A∈(0，π)，故A＝. (2)由正弦定理得＝＝， 即b＝2sinB，c＝2sinC， 因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2＝4sinB＋2cosB＝2sin(B＋φ)， 其中φ∈，tanφ＝，則sinφ＝＝， 故b＋2c≤2，當且僅當B＋φ＝，即

2、B＝－φ時取等號， 故此時cosB＝sinφ＝. 2．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點． (1)若E為AB1上的一點，且DE與直線CD垂直，求的值； (2)在(1)的條件下，設(shè)異面直線AB1與CD所成的角為45°，求直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值． 解　(1)如圖，取AB的中點M，連接CM，MD，有MD∥AB1， 因為AC＝BC，所以CM⊥AB， 又因為三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱， 所以平面ABC⊥平面ABB1A1， 又因為平面ABC∩平面ABB1A1＝AB， 所以CM⊥平面ABB1A1， 又因為D

3、E?平面ABB1A1， 所以CM⊥DE， 又因為DE⊥CD，CD∩CM＝C，CD?平面CMD，CM?平面CMD， 所以DE⊥平面CMD，又因為MD?平面CMD， 所以DE⊥MD， 因為MD∥AB1，所以DE⊥AB1， 連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝O，因為ABB1A1為正方形， 所以A1B⊥AB1， 又因為DE?平面AA1B1B，A1B?平面AA1B1B， 所以DE∥A1B， 又因為D為BB1的中點，所以E為OB1的中點， 所以＝. (2)如圖，以M為坐標原點，分別以MA，MO，MC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系， 設(shè)AB＝2a，由題意可知∠CDM

4、＝45°， 所以AB1＝2a， 所以DM＝CM＝a， 所以A(a,0,0)，B1(－a,2a,0)，C1(0,2a，a)，D(－a，a,0)，E， 所以＝(－2a,2a,0)，＝(a,0，a)， ＝， 設(shè)平面AB1C1的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則即 得平面AB1C1的一個法向量為n＝(，，－1)． 所以cos〈，n〉＝＝＝. 所以直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值為. 3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點A，且點F(0，－1)為其一個焦點． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)橢圓E與y軸的兩個交點為A1，A2，不在y軸上的動

5、點P在直線y＝b2上運動，直線PA1，PA2與橢圓E的另外兩個交點分別為M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值． 解　(1)根據(jù)題意可得解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：不妨設(shè)A1(0,2)，A2(0，－2)． P(x0,4)為直線y＝4上一點(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 直線PA1的方程為y＝x＋2，直線PA2的方程為y＝x－2. 點M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標滿足方程組 可得 點N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標滿足方程組可得 即M，N. 直線MN的方程為y－＝－， 即y＝－x＋1. 故直線MN恒過

6、定點B(0,1)． 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點， ∴△FMN的周長＝|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8. 4．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直線l：(t為參數(shù))． (1)求曲線C的直角坐標方程，直線l的普通方程； (2)設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點，點P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值． 解　(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得， 曲線C：y2＝2ax，由直線l：(t為參數(shù))，消去t，得直線l：x－y

7、＋2＝0. (2)將代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0， 由Δ>0得a>4， 設(shè)M，N， 則t1＋t2＝2a，t1t2＝8a， ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列， ∴|t1－t2|2＝|t1t2|， ∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5. 5．已知函數(shù)f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|. (1)當a＝1，b＝0時，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集； (2)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)的最小值為2，求3a＋b的值． 解　(1)當a＝1，b＝0時，由f(x)≥3|x|＋1，得2|x＋1|≥1， 所以|x＋1|≥，解得x≤－或x≥－， 所以所求不等式的解集為∪. (2)解法一：因為f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b| ＝ 所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當x＝時，函數(shù)f(x)取得最小值，為f＝2＝2. 因為a>0，b>0，所以3a＋b＝3. 解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等號在－a≤x≤時成立， 因為當x＝時，的最小值為0， 所以f(x)＝2＋≥2，等號在x＝時成立， 所以f(x)的最小值為2，從而2＝2. 因為a>0，b>0，所以3a＋b＝3. - 5 -