高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題6 立體幾何 第25練 空間幾何體的三視圖及表面積與體積 文

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第25練　空間幾何體的三視圖及表面積與體積 [題型分析高考展望]　三視圖是高考的熱點和重點．其考查形式多種多樣，選擇題、填空題和綜合解答題都有出現(xiàn)，而這些題目以選擇題居多；立體幾何中的計算問題考查的知識，涉及到三視圖、空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明． 體驗高考 1．(2015陜西)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 答案　D 解析　由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為 S＝2π12＋2π12＋22 ＝π＋2π＋4＝3π＋4. 2．(2016課標全國乙)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 答案　A 解析　由題意知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個球(被過球心O且互相垂直的三個平面)切掉左上角的后得到的組合體，其表面積是球面面積的和三個圓面積之和，由幾何體的體積易得球的半徑為2，則得S＝4π22＋3π22＝17π，故選A. 3．(2016北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　由三視圖知，三棱錐如圖所示．由側(cè)(左)視圖得高h＝1， 又底面積S＝11＝， 所以體積V＝Sh＝. 4．(2016四川)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正(主)視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 答案　 解析　由題意可知，因為三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正(主)視圖可得俯視圖(如圖)， 且三棱錐高為h＝1， 則面積V＝Sh＝1＝. 5．(2016浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3. 答案　80　40 解析　由三視圖可知該幾何體由一個正方體和一個長方體組合而成，上面正方體的邊長為2 cm，下面長方體的底面邊長為4 cm，高為2 cm，其直觀圖如圖：其表面積S＝622＋242＋424－222＝80(cm2)．體積V＝222＋442＝40(cm3)． 高考必會題型 題型一　三視圖識圖 例1　(1)在如圖所示的空間直角坐標系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正(主)視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② (2)沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)由三視圖可知，該幾何體的正(主)視圖是一個直角三角形(三個頂點的坐標分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正(主)視圖是④；俯視圖即在底面的射影是一個斜三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②. (2)由已知中幾何體的直觀圖，我們可得側(cè)(左)視圖首先應該是一個正方形，故D不正確；中間的棱在側(cè)(左)視圖中表現(xiàn)為一條對角線，故C不正確；而對角線的方向應該從左上到右下，故A不正確． 點評　畫法規(guī)則：(1)由幾何體的輪廓線定形狀，看到的畫成實線，看不到的畫成虛線． (2)正(主)俯一樣長，俯側(cè)(左)一樣寬，正(主)側(cè)(左)一樣高． 變式訓練1　一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 答案　B 解析　該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選B. 題型二　空間幾何體的表面積和體積 例2　(1)(2015安徽)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(　　) A．1＋ B．2＋ C．1＋2 D．2 (2)(2015天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 答案　(1)B　(2)π 解析　(1)由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖，如圖， ∴該四面體的表面積為 S表＝221＋2()2＝2＋，故選B. (2)由三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成，底面半徑為1 m，圓錐的高為1 m，圓柱的高為2 m，所以該幾何體的體積V＝2π121＋π122＝π(m3)． 點評　利用三視圖求幾何體的表面積、體積，需先由三視圖還原幾何體，三個圖形結(jié)合得出幾何體的大致形狀，由實、虛線得出局部位置的形狀，再由幾何體的面積體積公式求解． 變式訓練2　(1)(2016課標全國甲)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π (2)(2015重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4π，圓錐的母線長l＝＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝4π4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C. (2)這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，V＝π122＋1＝π＋，選A. 高考題型精練 1．如圖所示的幾何體是棱柱的有(　　) A．②③⑤ B．③④⑤ C．③⑤ D．①③ 答案　C 解析　由棱柱的定義知③⑤兩個幾何體是棱柱，故選C. 2．(2015北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(　　) A．1 B. C. D．2 答案　C 解析　四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長為1，最長棱長PA＝＝. 3．(2016課標全國丙)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 答案　B 解析　由題意知，該幾何體為底面為正方形的斜平行六面體，邊長分別為3,3，，幾何體的表面積S＝362＋332＋32＝54＋18. 4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的外接球的表面積等于(　　) A.π B．16π C．8π D.π 答案　D 解析　由三視圖知，幾何體是一個正三棱柱，外接球的球心就是兩底面三角形中心連線的中點，外接球的半徑等于球心到正三棱柱的任意一個頂點的距離，可求得其半徑為＝，那么外接球的表面積為4π()2＝π，故選D. 5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是邊長為1的正方形，俯視圖是腰長為1的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　C 解析　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是如圖所示的直三棱柱， 且該三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，所以該三棱柱的體積為V＝Sh＝111＝，故選C. 6.(2016山東)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 答案　C 解析　由三視圖知，半球的半徑R＝，四棱錐為底面邊長為1，高為1的正四棱錐，∴V＝111＋π3＝＋π，故選C. 7．某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為如圖1所示的圖形，則在圖2的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是(　　) A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④ 答案　A 解析　由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確． 8．(2015山東)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C．2π D．4π 答案　B 解析　如圖，設等腰直角三角形為△ABC，∠C＝90，AC＝CB＝2，則AB＝2. 設D為AB中點，則BD＝AD＝CD＝. ∴所圍成的幾何體為兩個圓錐的組合體，其體積V＝2π()2＝. 9．(2015江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________． 答案　 解析　設新的底面半徑為r，由題意得πr24＋πr28＝π524＋π228，解得r＝. 10．一個幾何體的側(cè)(左)視圖和俯視圖如圖所示，則其正(主)視圖的面積為________． 答案　4 解析　由題意知其正(主)視圖如圖所示， 則其面積為(1＋3)2＝4. 11．已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3. 答案　2 解析　由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，對應高為1，所以其體積V＝Sh＝213＝2. 12．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________． 答案　 解析　設等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R， 則V圓錐＝πa2a＝πa3. 又R2＝a2＋(a－R)2，所以R＝a， 故V球＝(a)3＝a3， 則其體積比值為. 13．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形．設點M，N，P分別是棱AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐P－A1MN的體積是________． 答案　 解析　由三視圖易知幾何體ABC－A1B1C1是上、下底面為等腰直角三角形的直三棱柱， 則 又S△PMN＝MNNP＝1＝， A到平面PMN的距離h＝， ∴VA－PMN＝S△PMNh＝＝.