高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第17練 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文

第17練三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型分析高考展望三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考中對(duì)三角函數(shù)部分考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要包括三個(gè)大的方面：三角函數(shù)圖象的識(shí)別，三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象的平移、伸縮變換考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度一般為低中檔，在二輪復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化該部分的訓(xùn)練，爭(zhēng)取對(duì)該類試題會(huì)做且不失分體驗(yàn)高考1(2015湖南)將函數(shù)f(x)sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對(duì)滿足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，則等于()A. B. C. D.答案D解析因?yàn)間(x)sin 2(x)sin(2x2)，所以|f(x1)g(x2)|sin 2x1sin(2x22)|2.因?yàn)?sin 2x11，1sin(2x22)1，所以sin 2x1和sin(2x22)的值中，一個(gè)為1，另一個(gè)為1，不妨取sin 2x11，sin(2x22)1，則2x12k1，k1Z,2x222k2，k2Z，2x12x222(k1k2)，(k1k2)Z，得|x1x2|.因?yàn)?<<，所以0<<，故當(dāng)k1k20時(shí)，|x1x2|min，則，故選D.2(2016四川)為了得到函數(shù)ysin的圖象，只需把函數(shù)ysin 2x的圖象上所有的點(diǎn)()A向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度答案D解析由題可知，ysinsin，則只需把ysin 2x的圖象向右平移個(gè)單位，選D.3(2016課標(biāo)全國(guó)乙)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點(diǎn)，x為yf(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A11 B9 C7 D5答案B解析因?yàn)閤為f(x)的零點(diǎn)，x為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以kT，即T，所以4k1(kN*)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以，即12，由此得的最大值為9，故選B.4(2015浙江)函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_答案，kZ解析f(x)sin 2x1sin，T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.5(2016天津)已知函數(shù)f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域?yàn)閤|xk，kZf(x)4tanxcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，kZ.得kxk，kZ.設(shè)A，Bx|kxk，kZ，易知AB.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減高考必會(huì)題型題型一三角函數(shù)的圖象例1(1)(2015課標(biāo)全國(guó))函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(2)(2016北京)將函數(shù)ysin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P.若P位于函數(shù)ysin 2x的圖象上，則()At，s的最小值為Bt，s的最小值為Ct，s的最小值為Dt，s的最小值為答案(1)D(2)A解析(1)由圖象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.故選D.(2)點(diǎn)P在函數(shù)ysin的圖象上，則tsinsin.又由題意得ysinsin 2x，故sk，kZ，所以s的最小值為.點(diǎn)評(píng)(1)畫三角函數(shù)圖象用“五點(diǎn)法”，由圖象求函數(shù)解析式逆用“五點(diǎn)法”是比較好的方法(2)對(duì)三角函數(shù)圖象主要確定下列信息：周期；最值；對(duì)稱軸；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；單調(diào)性；與標(biāo)準(zhǔn)曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系變式訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，則()A，B，C2，D2，(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，|，0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_答案(1)D(2)f(x)2sin解析(1)f(x)2sin(x)(>0，|<)的最小正周期為，T，2.f(0)2sin ，即sin (|<)，.(2)觀察圖象可知：A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上，12sin(0)，即sin .|，.又是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過x軸形成的零點(diǎn)，2，2.f(x)2sin.題型二三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)例2(2015重慶)已知函數(shù)f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在上的單調(diào)性解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期為，最大值為.(2)當(dāng)x時(shí)，02x，從而當(dāng)02x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減綜上可知，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減點(diǎn)評(píng)解決此類問題首先將已知函數(shù)式化為yAsin(x)k(或yAcos(x)k)的形式，再將x看成，利用ysin (或ycos )的單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)解決相關(guān)問題變式訓(xùn)練2(2016北京)已知函數(shù)f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，由0，f(x)最小正周期為，得，解得1.(2)由(1)得f(x)sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.題型三三角函數(shù)圖象的變換例3(2015湖北)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)Asin(x)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：x02xAsin(x)0550(1) 請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式；(2) 將yf(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)g(x)的圖象若yg(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值解(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5，2，.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：x02xAsin(x)05050且函數(shù)表達(dá)式為f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因?yàn)楹瘮?shù)ysin x的圖象的對(duì)稱中心為(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令，解得，kZ，由>0可知，當(dāng)k1時(shí)，取得最小值.點(diǎn)評(píng)對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問題，平移變換規(guī)則是“左加右減，上加下減”，并且在變換過程中只變換其中的自變量x，要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的名稱不同時(shí)，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，其次把x寫成(x)，最后確定平移的單位和方向伸縮變換時(shí)注意敘述為“變?yōu)樵瓉淼摹边@個(gè)字眼，變換的倍數(shù)要根據(jù)橫向和縱向加以區(qū)分變式訓(xùn)練3已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖象過點(diǎn)(，)和點(diǎn)(，2)(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖象向左平移(0<<)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象，若yg(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因?yàn)閥f(x)的圖象過點(diǎn)(，)和點(diǎn)(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由題意知g(x)f(x)2sin(2x2)設(shè)yg(x)的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)，由題意知，x11，所以x00，即yg(x)圖象上到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)將其代入yg(x)得sin(2)1，因?yàn)?<<，所以，所以g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函數(shù)yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.高考題型精練1(2015四川)下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()AycosBysinCysin 2xcos 2xDysin xcos x答案A解析ycossin 2x，最小正周期T，且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；ysincos 2x，最小正周期為，且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故B不正確；C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C，D不正確2(2016課標(biāo)全國(guó)甲)若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由題意，將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y2sin，由2xk(kZ)得函數(shù)的對(duì)稱軸為x(kZ)，故選B.3已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f()等于()A B1 C. D1答案C解析由圖象知，T2()，2.由2k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(20)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2)tan.4先把函數(shù)f(x)sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變)，再把新得到的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)g(x)的圖象，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)?)A.B.C.D1,0)答案A解析依題意得g(x)sinsin，當(dāng)x時(shí)，2x，sin，此時(shí)g(x)的值域是，故選A.5將函數(shù)f(x)4sin的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則的最小正值為()A. B. C. D.答案B解析依題意可得yf(x)y4sin2(x)4sin2x(2)yg(x)4sin4x(2)，因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以g4，得(kZ)，故選B.6.函數(shù)f(x)Asin(x)其中A0，|的圖象如圖所示，為了得到g(x)sin 2x的圖象，則只需將f(x)的圖象()A向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位B向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位D向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位答案A解析由已知中函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象過點(diǎn)和點(diǎn)，易得：A1，T4，即2，即f(x)sin(2x)，將點(diǎn)代入可得，2k，kZ.又因?yàn)閨，所以，所以f(x)sin.設(shè)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移a個(gè)單位得到函數(shù)g(x)sin 2x的圖象，則2(xa)2x，解得a.所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)sin 2x的圖象，故應(yīng)選A.7(2016課標(biāo)全國(guó)丙)函數(shù)ysin xcos x的圖象可由函數(shù)ysin xcos x的圖象至少向右平移_個(gè)單位長(zhǎng)度得到答案解析ysin xcos x2sin，ysin xcos x2sin，因此至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到8(2015湖北)函數(shù)f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_答案2解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)ysin 2x與函數(shù)y|ln(x1)|的大致圖象如圖所示觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)9已知函數(shù)f(x)2sin(x)，對(duì)于任意x都有ff，則f_.答案2解析ff，x是函數(shù)f(x)2sin(x)的一條對(duì)稱軸f2.10把函數(shù)ysin 2x的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)后得到函數(shù)yf(x)的圖象，對(duì)于函數(shù)yf(x)有以下四個(gè)判斷：該函數(shù)的解析式為y2sin；該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；該函數(shù)在上是增函數(shù)；若函數(shù)yf(x)a在上的最小值為，則a2.其中，正確判斷的序號(hào)是_答案解析將函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)sin 2sin的圖象，然后縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到y(tǒng)2sin的圖象，所以不正確；yf2sin2sin 0，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以正確；由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ，當(dāng)k0時(shí)，增區(qū)間為，所以不正確；yf(x)a2sina，當(dāng)0x時(shí)，2x，所以當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)取得最小值，ymin2sin aa，所以a2，所以正確所以正確的判斷為.11(2015天津)已知函數(shù)f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，f，f，f，所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.12(2016山東)設(shè)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)把yf(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g的值解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)2sin1的圖象，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)2sin x1的圖象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.