高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 三 壓軸題專練 理

三、壓軸題專練(一)1.如圖，F(xiàn)是橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B是橢圓的兩個頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)C在x軸上，BCBF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線xy30相切(1)求橢圓的方程；(2)過F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得NF恰好為PNQ的內(nèi)角平分線，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解(1)由題意可知F(c,0)，e，bc，即B(0，c)，kBF，又BCBF，kBC，C(3c,0)，圓M的圓心坐標(biāo)為(c,0)，半徑為2c，由直線xy30與圓M相切可得2c，c1.橢圓的方程為1.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N(x0,0)由題意可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，NF為PNQ的內(nèi)角平分線，kNPkNQ，即，(x11)(x2x0)(x21)(x1x0)x0.又3x24k2(x1)212.(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2.x04，存在滿足條件的點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,0)2.設(shè)函數(shù)f(x)x2mln x，g(x)x2(m1)x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)m0時，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，當(dāng)m0時，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)m>0時，f(x)，當(dāng)0<x<時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上：當(dāng)m0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmln x，x>0，問題等價于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)m0時，F(xiàn)(x)x2x，x>0，有唯一零點(diǎn)；當(dāng)m0時，F(xiàn)(x)，當(dāng)m1時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)>0，F(xiàn)(4)ln 4<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)m>1時，0<x<1或x>m時，F(xiàn)(x)<0；1<x<m時，F(xiàn)(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)m>0，F(xiàn)(2m2)mln (2m2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)當(dāng)0<m<1時，0<x<m或x>1時，F(xiàn)(x)<0；m<x<1時，F(xiàn)(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0，m)和(1，)上單調(diào)遞減，在(m,1)上單調(diào)遞增，易得ln m<0，所以F(m)(m22ln m)>0，而F(2m2)mln (2m2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)3選做題(1)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍(2)選修45：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)|2xa|2a.若不等式f(x)6的解集為x|6x4，求實(shí)數(shù)a的值在的條件下，若不等式f(x)(k21)x5的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)直線l的普通方程為xy30.曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23.曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2y23，即x21，曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cos，sin)2sin31>0，d.d的最小值為，d的最大值為.d，即d的取值范圍為.(2)|2xa|2a6，|2xa|62a，2a62xa62a，a3x3，不等式f(x)6的解集為x|6x4，解得a2.由得f(x)|2x2|4.|2x2|4(k21)x5，化簡整理得|2x2|1(k21)x，令g(x)|2x2|1yg(x)的圖象如圖所示，要使不等式f(x)(k21)x5的解集非空，需k21>2或k211，k的取值范圍是k|k>或k<或k0(二)1.2016西安質(zhì)檢 如圖所示，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線上(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)P(2，)，Q(2，)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn)，當(dāng)A，B運(yùn)動時，滿足APQBPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由解(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)橢圓的一個頂點(diǎn)恰好在拋物線x28y的準(zhǔn)線y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，直線PA的方程為：yk(x2)，聯(lián)立化為(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直線AB的斜率為定值.22016河南六市一聯(lián)已知函數(shù)f(x)aln xx，g(x)x2(1a)x(2a)ln x，其中aR.(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)F(x)f(x)g(x)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，問：函數(shù)F(x)的圖象在點(diǎn)(x0，F(xiàn)(x0)處的切線能否平行于x軸？解(1)g(x)2x(1a)，g(x)的定義域?yàn)閤|x>0，且g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，g(x)0在x>0時恒成立，則2x2(1a)x(2a)0在x>0時恒成立，a5在x>0時恒成立而當(dāng)x>0時，2(x1)>3，a2，)(2)設(shè)F(x)的圖象在(x0，F(xiàn)(x0)處的切線平行于x軸，F(xiàn)(x)2ln xx2ax，F(xiàn)(x)2xa，不妨設(shè)A(m,0)，B(n,0)，0<m<n，則 得2ln (mn)(mn)a(mn)，a2x0，由得a2x0，ln，設(shè)t(0,1)，式可變?yōu)閘n t0(t(0,1)設(shè)h(t)ln t，h(t)>0(t(0,1)，函數(shù)h(t)ln t在(0,1)上單調(diào)遞增，因此h(t)<h(1)0，也就是ln <，此式與矛盾F(x)的圖象在點(diǎn)(x0，F(xiàn)(x0)處的切線不能平行于x軸3選做題(1)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(4cos3sin)m0(其中m為常數(shù))若直線l與曲線C恰好有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；若m4，求直線l被曲線C截得的弦長(2)選修45：不等式選講已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)若f(x)ax2x，解不等式|f(x)|<ax；若任意x1，x20,1，且x1x2時，有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求證：|f(x1)f(x2)|<.解(1)直線l的極坐標(biāo)方程可化為直角坐標(biāo)方程：4x3ym0，曲線C的參數(shù)方程可化為普通方程：y24x，由可得y23ym0，因?yàn)橹本€l和曲線C恰好有一個公共點(diǎn)，所以94m0，所以m.當(dāng)m4時，直線l：4x3y40恰好過拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，由可得4x217x40，設(shè)直線l與拋物線C的兩個交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，故直線l被拋物線C所截得的弦長為|AB|x1x222.(2)f(0)f(1)，即a10，即a1，所以不等式化為|x2x|<x.a當(dāng)x<0時，不等式化為x2x<x，所以<x<0；b當(dāng)0x1時，不等式化為x2x<x，所以0x<；c當(dāng)x>1時，不等式化為x2x<x，所以x.綜上所述，不等式的解集為.證明：由已知任意x1，x20,1且x1x2，則不妨設(shè)x2>x1，則當(dāng)x2x1時，|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，當(dāng)x2x1>時，則x1<，且1x2<，那么|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(1)f(x2)|f(x1)f(0)|f(1)f(x2)|<x101x21(x2x1)<.(三)1.2016鄭州質(zhì)檢已知點(diǎn)M(1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍(1)求曲線E的方程；(2)已知m0，設(shè)直線l1：xmy10交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mxym0交曲線E于B，D兩點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)均在x軸下方當(dāng)CD的斜率為1時，求線段AB的長解(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可得， ，整理得x2y24x10，即(x2)2y23.(2)由題知l1l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0)，設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：yx2，設(shè)直線CD：yxt，由解得點(diǎn)P，由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|CD|，而|NP|222，|ED|23，|EP|22，解之得t0或t3，又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，所以直線CD：yx.由解得或不失一般性，可設(shè)C，D，AC：yu(x1)，由消y得：(u21)x22(u22)xu210，方程的兩根之積為1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA2，又點(diǎn)C在直線l1：xmy10上，解得m1，直線l1：y(1)(x1)，所以A(2，1)，同理可得B(2，1)，所以線段AB的長為2.22016唐山統(tǒng)考已知函數(shù)f(x)(a>0)(1)若a1，證明：yf(x)在R上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)a>1時，討論f(x)零點(diǎn)的個數(shù)解(1)證明：當(dāng)x1時，f(x)10，f(x)在1，)上單調(diào)遞減，f(x)f(1)0；當(dāng)x<1時，f(x)ex11<0，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，且此時f(x)>0.所以yf(x)在R上單調(diào)遞減(2)若xa，則f(x)aa<0(a>1)，所以此時f(x)單調(diào)遞減，令g(a)f(a)ln aa21，則g(a)2a<0，所以f(a)g(a)<g(1)0，(另解：f(a)ln aa21<ln aa1<0，事實(shí)上，令h(a)ln aa1，h(a)1<0，h(a)<h(1)0)即f(x)f(a)<0，故f(x)在a，)上無零點(diǎn)當(dāng)x<a時，f(x)ex1a2，當(dāng)a>2時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，又f(0)e1>0，f<0，所以此時f(x)在上有一個零點(diǎn)當(dāng)a2時，f(x)ex1，此時f(x)在(，2)上沒有零點(diǎn)當(dāng)1<a<2時，令f(x0)0，解得x0ln (2a)1<1<a，所以f(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，a)上單調(diào)遞增f(x0)e x01(a2)x0e x01 (1x0)>0，所以此時f(x)沒有零點(diǎn)綜上，當(dāng)1<a2時，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>2時，f(x)有一個零點(diǎn)3選做題(1)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P.求曲線C的直角坐標(biāo)方程；求的值(2)選修45：不等式選講已知實(shí)數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的不等式|x2mxn|3x26x9|的解集為R.求m，n的值；若a，b，cR，且abcmn，求證：.解(1)利用極坐標(biāo)公式，把曲線C的極坐標(biāo)方程2sin化為22sin2cos，普通方程是x2y22y2x，即(x1)2(y1)22.直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程 (x1)2(y1)22中，得t2t10，.(2)由于解集為R，那么x3，x1都滿足不等式，即有即解得m2，n3，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m2，n3時，不等式的解集是R.證明：abc1，ab2，bc2，ca2，()2abc2223(abc)3，故(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號)(四)1.2016石家莊模擬已知拋物線C：y22px(p>0)過點(diǎn)M(m,2)，其焦點(diǎn)為F，且|MF|2.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線C和圓F：(x1)2y21相切，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn)解(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，|MF|m2，又42pm，即42p，p24p40，p2，拋物線C的方程為y24x.(2)證明：設(shè)點(diǎn)E(0，t)(t0)，由已知切線不為y軸，設(shè)EA：ykxt，聯(lián)立消去y，可得k2x2(2kt4)xt20，直線EA與拋物線C相切，(2kt4)24k2t20，即kt1，代入 可得x22xt20，xt2，即A(t2,2t)設(shè)切點(diǎn)B(x0，y0)，則由幾何性質(zhì)可以判斷點(diǎn)O，B關(guān)于直線EF：ytxt對稱，則解得即B.解法一：直線AB的斜率為kAB(t1)，直線AB的方程為y(xt2)2t，整理得y(x1)，直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0)，當(dāng)t1時，A(1，2)，B(1，1)，此時直線AB為x1，過點(diǎn)F(1,0)綜上，直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0)解法二：直線AF的斜率為kAF(t1)，直線BF的斜率為kBF(t1)，kAFkBF，即A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線當(dāng)t1時，A(1，2)，B(1，1)，此時A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線直線AB過定點(diǎn)F(1,0)22016貴州測試設(shè)nN*，函數(shù)f(x)，函數(shù)g(x)(x>0)(1)當(dāng)n1時，求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象分別位于直線y1的兩側(cè)，求n的取值集合A；(3)對于nA，x1，x2(0，)，求|f(x1)g(x2)|的最小值解(1)當(dāng)n1時，f(x)，f(x)(x>0)由f(x)>0得0<x<e；由f(x)<0得x>e.所以函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，因?yàn)閒(e)>0，fe<0，所以函數(shù)f(x)在(0，e)上存在一個零點(diǎn)；當(dāng)x(e，)時，f(x)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(e，)上不存在零點(diǎn)綜上得函數(shù)f(x)在(0，)上存在唯一一個零點(diǎn)(2)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)(x>0)，由f(x)>0，得0<x<e；由f(x)<0，得x>e；.所以函數(shù)f(x)在(0，e；)上單調(diào)遞增，在(e；，)上單調(diào)遞減，則當(dāng)xe；時，函數(shù)f(x)有最大值f(x)maxf(e；).對函數(shù)g(x)(x>0)求導(dǎo)，得g(x)(x>0)，由g(x)>0，得x>n；由g(x)<0，得0<x<n.所以函數(shù)g(x)在(0，n)上單調(diào)遞減，在(n，)上單調(diào)遞增，則當(dāng)xn時，函數(shù)g(x)有最小值g(x)ming(n)n.因?yàn)閚N*，函數(shù)f(x)的最大值f(e)<1，即函數(shù)f(x)在直線y1的下方，故函數(shù)g(x)(x>0)在直線y1的上方，所以g(x)ming(n)n>1，解得n<e.所以n的取值集合A1,2(3)對x1，x2(0，)，|f(x1)g(x2)|的最小值等價于g(x)minf(x)maxn.當(dāng)n1時，g(x)minf(x)maxe；當(dāng)n2時，g(x)minf(x)max；因?yàn)?gt;0，所以|f(x1)g(x2)|的最小值為.3選做題(1)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為24sin3.求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；求曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值(2)選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|x2a|.當(dāng)a1時，求不等式f(x)>2的解集；若對任意xR，不等式f(x)a23a3恒成立，求a的取值范圍解(1)x22(sincos)2sin21y，所以C1的普通方程為yx2.將2x2y2，siny代入C2的方程得x2y24y3，所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2y24y30.將x2y24y30變形為x2(y2)21，它的圓心為C(0,2)設(shè)P(x0，y0)為C1上任意一點(diǎn)，則y0x，從而|PC|2(x00)2(y02)2x(x2)2x3x42，所以當(dāng)x時，|PC|min，故曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(2)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x2|.當(dāng)x1時，f(x)1x2x32x，此時由f(x)>2得x<；當(dāng)1<x2時，f(x)x12x1，此時f(x)>2無解；當(dāng)x>2時，f(x)x1x22x3，此時由f(x)>2得x>.綜上可得不等式f(x)>2的解集為.因?yàn)閒(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等價于|a|a23a3.當(dāng)a0時，有aa23a3，即a24a30，解得2a2，此時有0a2.當(dāng)a<0時，有aa23a3，即a22a30，解得1a3，此時有1a<0.綜上可知a的取值范圍是1,2