高考數學大二輪總復習與增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直練習 理

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第2講　空間中的平行與垂直 1．(2016課標全國甲)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號) 答案?、冖邰? 解析　當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④. 2．(2016江蘇)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)由已知，DE為△ABC的中位線， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性質可得AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， ∴DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1， ∴A1C1⊥B1D， 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， ∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F. 1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質及線線、線面和面面的判定與性質定理對命題的真假進行判斷，屬基礎題. 2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等． 熱點一　空間線面位置關系的判定 空間線面位置關系判斷的常用方法 (1)根據空間線面平行、垂直關系的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題； (2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系，并結合有關定理來進行判斷． 例1　(1)(2015廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　) A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交 C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交 (2)關于空間兩條直線a、b和平面α，下列命題正確的是(　　) A．若a∥b，b?α，則a∥α B．若a∥α，b?α，則a∥b C．若a∥α，b∥α，則a∥b D．若a⊥α，b⊥α，則a∥b 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交． (2)線面平行的判定定理中的條件要求a?α，故A錯；對于線面平行，這條直線與面內的直線的位置關系可以平行，也可以異面，故B錯；平行于同一個平面的兩條直線的位置關系：平行、相交、異面都有可能，故C錯；垂直于同一個平面的兩條直線是平行的，故D正確，故選D. 思維升華　解決空間點、線、面位置關系的組合判斷題，主要是根據平面的基本性質、空間位置關系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結論不能完全引用到立體幾何中． 跟蹤演練1　設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題： ①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β； ③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m∥α，m⊥β，則α⊥β. 其中真命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析?、僖驗椤叭绻麅蓷l平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面”，所以①正確；②當m平行于兩個相交平面α，β的交線l時，也有m∥α，m∥β，所以②錯誤；③若m∥n，m∥β，則n∥β或n?β，所以③錯誤；④平面α，β與直線m的關系如圖所示，必有α⊥β，故④正確． 熱點二　空間平行、垂直關系的證明 空間平行、垂直關系證明的主要思想是轉化，即通過判定、性質定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關系相互轉化． 例2　(2015廣東)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3. (1)證明：BC∥平面PDA； (2)證明：BC⊥PD； (3)求點C到平面PDA的距離． (1)證明　因為四邊形ABCD是長方形， 所以BC∥AD，因為BC?平面PDA，AD?平面PDA， 所以BC∥平面PDA. (2)證明　因為四邊形ABCD是長方形，所以BC⊥CD，因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC，所以BC⊥PD. (3)解　如圖，取CD的中點E，連接AE和PE. 因為PD＝PC，所以PE⊥CD， 在Rt△PED中，PE＝＝＝. 因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC， 所以PE⊥平面ABCD. 由(2)知：BC⊥平面PDC， 由(1)知：BC∥AD， 所以AD⊥平面PDC， 因為PD?平面PDC，所以AD⊥PD. 設點C到平面PDA的距離為h， 因為V三棱錐C—PDA＝V三棱錐P—ACD， 所以S△PDAh＝S△ACDPE， 即h＝＝＝， 所以點C到平面PDA的距離是. 思維升華　垂直、平行關系的基礎是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質定理進行平行轉換． (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質；②勾股定理；③線面垂直的性質：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 跟蹤演練2　如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，點E在棱PD上，且PE＝2ED. (1)求證：平面PCD⊥平面PBC； (2)求證：PB∥平面AEC. 證明　(1)因為AD⊥CD，AD∥BC， 所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B， PB?平面PBC，BC?平面PBC， 所以CD⊥平面PBC，又CD?平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PBC. (2)連接BD交AC于點O，連接OE. 因為AD∥BC，所以△ADO∽△CBO， 所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED， 所以OE∥PB，又OE?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC. 熱點三　平面圖形的折疊問題 平面圖形經過翻折成為空間圖形后，原有的性質有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質是解決問題的關鍵．一般地，在翻折后還在一個平面上的性質不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法． 例3　如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，AC∩EF＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐P—ABFED，且PB＝. (1)求證：BD⊥PA； (2)求四棱錐P—BFED的體積． (1)證明　∵點E，F(xiàn)分別是邊CD，CE的中點， ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO， ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO＝O， ∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA， 又PA?平面POA，∴BD⊥PA. (2)解　設AO∩BD＝H.連接BO，∵∠DAB＝60， ∴△ABD為等邊三角形， ∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝， 在Rt△BHO中，BO＝＝， 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF?平面BFED，BO?平面BFED， ∴PO⊥平面BFED， 梯形BFED的面積S＝(EF＋BD)HO＝3， ∴四棱錐P—BFED的體積 V＝SPO＝3＝3. 思維升華　(1)折疊問題中不變的數量和位置關系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結論． 跟蹤演練3　如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60，∠BAC＝90，AD是BC上的高，沿AD將△ABC折成60的二面角B—AD—C，如圖2. (1)證明：平面ABD⊥平面BCD； (2)設點E為BC的中點，BD＝2，求異面直線AE和BD所成的角的大?。? (1)證明　(1)因為折起前AD是BC邊上的高， 則當△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD， 又CD∩BD＝D，則AD⊥平面BCD. 因為AD?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD. (2)解　如圖，取CD的中點F，連接EF，則EF∥BD， 所以∠AEF為異面直線AE與BD所成的角． 連接AF，DE，由BD＝2，則EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3. 在Rt△ADF中，AF＝＝. 在△BCD中，由題設∠BDC＝60， 則BC2＝BD2＋CD2－2BDCDcos∠BDC＝28， 即BC＝2，從而BE＝BC＝， cos∠CBD＝＝－， 在△BDE中， DE2＝BD2＋BE2－2BDBEcos∠CBD＝13， 在Rt△ADE中，AE＝＝5. 在△AEF中，cos∠AEF＝＝. 因為兩條異面直線所成的角為銳角或直角， 所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60. 1．不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面α，β內，下列為真命題的是(　　) A．m⊥n?m⊥β B．m⊥n?α⊥β C．α∥β?m∥β D．m∥n?α∥β 押題依據　空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內容，也是高考命題的熱點．此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力． 答案　C 解析　構造長方體，如圖所示． 因為A1C1⊥AA1，A1C1?平面AA1C1C，AA1?平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直．所以選項A，B都是假命題． CC1∥AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項D為假命題． “若兩平面平行，則一個平面內任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題，故選C. 2．如圖1，在正△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且BE＝AF＝2CF.點P為邊BC上的點，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖2所示． (1)求證：A1E⊥FP； (2)若BP＝BE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由． 押題依據　以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關系的考題創(chuàng)新性強，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預計將成為今年高考的命題形式． (1)證明　在正△ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖1. 圖1 因為BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60，所以△ADF為正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD. 所以在圖2中A1E⊥EF， BE⊥EF. 故∠A1EB為二面角A1—EF—B的一個平面角． 因為平面A1EF⊥平面BEFC， 所以∠A1EB＝90，即A1E⊥EB. 因為EF∩EB＝E， 所以A1E⊥平面BEFC. 因為FP?平面BEFC，所以A1E⊥FP. (2)解　在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行． 理由如下： 如圖1，在正△ABC中，因為BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB， 所以FP∥BE. 如圖2，取A1P的中點M，連接MK， 圖2 因為點K為棱A1F的中點， 所以MK∥FP. 因為FP∥BE，所以MK∥BE. 因為MK?平面A1BE，BE?平面A1BE， 所以MK∥平面A1BE. 故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行． A組　專題通關 1．(2015湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則(　　) A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 答案　A 解析　由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1∥l2，所以q?p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件．故選A. 2．設a，b是平面α內兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　若a，b是平面α內兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，l⊥a，l⊥b，a∥b，則l可以與平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α內兩條不同的直線，l是平面α外的一條直線，則l⊥a，l⊥b.∴“l(fā)⊥a，l⊥b”是“l(fā)⊥α”的必要而不充分條件，故選C. 3．設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中不正確的是(　　) A．若m?α，n∥α，則n∥m B．若m?α，m⊥β，則α⊥β C．若n⊥α，n⊥β，則α∥β D．若m?α，n⊥α，則m⊥n 答案　A 解析　A中，若m?α，n∥α，則n∥m或m，n異面．故不正確；B，C，D均正確．故選A. 4．將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交成60角 D．異面且成60角 答案　D 解析　如圖，直線AB，CD異面．因為CE∥AB，所以∠ECD即為直線AB，CD所成的角，因為△CDE為等邊三角形，故∠ECD＝60. 5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 答案　D 解析　因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD， 所以CD⊥平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故選D. 6．如圖，在空間四邊形ABCD中，點M∈AB，點N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關系是________． 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結論中正確的是________．(填序號) ①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD； ③三棱錐E－ABC的體積為定值； ④直線B1E⊥直線BC1. 答案　①②③ 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝V，為定值，故③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯誤． 8．下列四個正方體圖形中，點A，B為正方體的兩個頂點，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號)． 答案　①③ 解析　對于①，注意到該正方體的面中過直線AB的側面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對于②，注意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于③，注意到此時直線AB與平面MNP內的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于④，易知此時AB與平面MNP相交．綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是①③. 9．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點． 求證：(1)AP∥平面C1MN； (2)平面B1BDD1⊥平面C1MN. 證明　(1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中， 因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點， 所以AM＝PC1. 又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1， 所以四邊形AMC1P為平行四邊形． 從而AP∥C1M， 又AP?平面C1MN，C1M?平面C1MN， 所以AP∥平面C1MN. (2)連接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD. 又點M，N分別為棱AB，BC的中點，故MN∥AC. 所以MN⊥BD. 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD， 又MN?平面ABCD， 所以DD1⊥MN， 而DD1∩DB＝D， DD1，DB?平面B1BDD1， 所以MN⊥平面B1BDD1， 又MN?平面C1MN， 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN. 10．(2015四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示． (1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)； (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系．并證明你的結論； (3)證明：直線DF⊥平面BEG. (1)解　點F，G，H的位置如圖所示． (2)解　平面BEG∥平面ACH， 證明如下： 因為ABCD—EFGH為正方體， 所以BC∥FG，BC＝FG， 又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH， 所以BC∥EH，BC＝EH， 于是BCHE為平行四邊形． 所以BE∥CH， 又CH?平面ACH，BE?平面ACH， 所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG＝B， 所以平面BEG∥平面ACH. (3)證明　連接FH，BD. 因為ABCD—EFGH為正方體， 所以DH⊥平面EFGH. 因為EG?平面EFGH，所以DH⊥EG. 又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD. 又DF?平面BFHD，所以DF⊥EG， 同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G， 所以DF⊥平面BEG. B組　能力提高 11．設a，b，c是空間中的三條直線，α，β是空間中的兩個平面，則下列命題的逆命題不成立的是(　　) A．當c⊥α時，若c⊥β，則α∥β B．當b?α時，若b⊥β，則α⊥β C．當b?α，且c是a在α內的射影時，若b⊥c，則a⊥b D．當b?α，且c?α時，若c∥α，則b∥c 答案　B 解析　B中命題的逆命題為：當b?α時，若α⊥β，則b⊥β，是假命題．而A、C、D中命題的逆命題均為真命題，故選B. 12.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝________時，CF⊥平面B1DF. 答案　a或2a 解析　由題意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，設AF＝x，則A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得＝，即＝， 整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a. 13．如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB＝BC，將△ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，對翻折后的幾何體有如下描述： ①AB與DE所成角的正切值是； ②AB∥CE； ③VB—ACE是a3； ④平面ABC⊥平面ADC. 其中正確的是________．(填寫你認為正確的序號) 答案　①③④ 解析　作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示： ∵AB＝a，BE＝a，∴AE＝a. ∴AD＝＝a，∴AC＝＝a. 在△ABC中，cos∠ABC＝ ＝＝. ∴sin∠ABC＝＝. ∴tan∠ABC＝＝. ∵BC∥DE，∴∠ABC是異面直線AB，DE所成的角，故①正確． 連接BD，CE，則CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE， ∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD?平面ABD， AD?平面ABD， ∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD， ∴CE⊥AB.故②錯誤． 三棱錐B—ACE的體積 V＝S△BCEAD＝a2a＝，故③正確． ∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE， ∴BC⊥AD，又BC⊥CD，AD∩CD＝D， ∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ACD.故答案為①③④. 14.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點M在線段EF上． (1)求證：BC⊥平面ACEF； (2)當FM為何值時，AM∥平面BDE？證明你的結論． (1)證明　∵在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60， ∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120， ∴∠DCA＝∠DAC＝30，∴∠ACB＝90，即BC⊥AC. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面ACEF. (2)解　當FM＝a時，AM∥平面BDE. 證明如下： 設AC∩BD＝N，連接EN，如圖． ∵∠ACB＝90，∠ABC＝60，BC＝a， ∴AC＝a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2， ∵四邊形ACEF是平行四邊形，∴EF＝AC＝a. ∵AM∥平面BDE，AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝NE， ∴AM∥NE，∴四邊形ANEM為平行四邊形， ∴FM∶ME＝1∶2， ∴FM＝FE＝AC＝. ∴當FM＝a時，AM∥平面BDE.