高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題六 解析幾何 第1講 直線與圓練習 理

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第1講　直線與圓 1．(2016山東)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 答案　B 解析　∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2， ∴圓心坐標為M(0，a)，半徑r1為a， 圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝， 由幾何知識得2＋()2＝a2，解得a＝2. ∴M(0,2)，r1＝2. 又圓N的圓心坐標為N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝， r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴兩圓相交，故選B. 2．(2016上海)已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1與l2的距離是________． 答案　 3．(2016浙江)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是______________．半徑是________． 答案　(－2，－4)　5 解析　由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去． 當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓． 4．(2016課標全國乙)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 答案　4π 解析　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題.直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 熱點一　直線的方程及應用 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．求直線方程 要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． 3．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. 例1　(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 (2)已知兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為(　　) A．0或－ B.或－6 C．－或 D．0或 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)兩直線平行，則A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，解得k＝3或5，且滿足條件，故正確答案為C. (2)依題意，得＝. 所以|3m＋5|＝|m－7|. 所以(3m＋5)2＝(m－7)2， 所以8m2＋44m－24＝0. 所以2m2＋11m－6＝0. 所以m＝或m＝－6. 思維升華　(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；(2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究． 跟蹤演練1　已知直線l1：ax＋2y＋1＝0與直線l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．6 D．1或2 答案　D 解析　由l1⊥l2，則a(3－a)－2＝0， 即a＝1或a＝2，選D. 熱點二　圓的方程及應用 1．圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)為圓心，為半徑的圓． 例2　(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y2)2＝3 B．(x－2)2＋(y)2＝3 C．(x－2)2＋(y2)2＝4 D．(x－2)2＋(y)2＝4 (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝，所以選D. (2)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標為(a,0)，a>－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B. 思維升華　解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 跟蹤演練2　(1)(2015課標全國Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________________． (2)兩條互相垂直的直線2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點為P，若圓C過點P和點M(－3,2)，且圓心在直線y＝x上，則圓C的標準方程為______________． 答案　(1)2＋y2＝ (2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34 解析　(1)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，－2)三點， (4,0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為. 得該圓的標準方程為(x－)2＋y2＝. (2)由直線2x＋y＋2＝0和直線ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點坐標為P(－1,0)，易求得線段MP的垂直平分線的方程為x－y＋3＝0，設(shè)圓C的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，則圓心(a，b)為直線x－y＋3＝0與直線y＝x的交點，由解得圓心坐標為(－6，－3)，從而得到r2＝34，所以圓C的標準方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34. 熱點三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法． (1)點線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則dr?直線與圓相離． (2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組消去y，得關(guān)于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0. 2．圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離． 設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下： (1)d>r1＋r2?兩圓外離； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切； (3)|r1－r2|0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為(　　) A．3 B. C．2 D．2 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)對于直線方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，則必有x＝2，所以該直線恒過定點P(2,3)． 設(shè)圓心是C，則易知C(1,2)， 所以kCP＝＝1， 由垂徑定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1. 又弦MN過點P(2,3)， 故弦MN所在直線的方程為y－3＝－(x－2)， 即x＋y－5＝0. (2)如圖，把圓的方程化成標準形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圓心為(0,1)，半徑為r＝1，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值為1.而S△PBC＝r|PB|，即|PB|的最小值為2，此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kx＋y＋4＝0的距離d，此時d＝＝＝， 即k2＝4，因為k>0，所以k＝2. 思維升華　(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量． (2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題． 跟蹤演練3　(1)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是(　　) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 (2)已知在平面直角坐標系中，點A(2，0)，B(0,1)到直線l的距離分別為1,2，則這樣的直線l共有________條． 答案　(1)D　(2)3 解析　(1)由題意可得圓心坐標為(1,1)，半徑r＝1，又直線3x＋4y＝b與圓相切，∴＝1，∴b＝2或12，故選D. (2)由題意得直線l為圓(x－2)2＋y2＝1(A為圓心)與圓x2＋(y－1)2＝4(B為圓心)的公切線，∵|AB|＝＝3＝1＋2，∴兩圓外切， ∴兩圓共有3條公切線．故答案為3. 1．已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成的兩段弧長比為1∶2，則圓C的方程為(　　) A．(x)2＋y2＝ B．(x)2＋y2＝ C．x2＋(y)2＝ D．x2＋(y)2＝ 押題依據(jù)　直線和圓的方程是高考的必考點，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應用． 答案　C 解析　由已知得圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為π. 設(shè)圓心坐標為(0，a)，半徑為r， 則rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝， 即r2＝， |a|＝，即a＝， 故圓C的方程為x2＋(y)2＝. 2．設(shè)m，n為正實數(shù)，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0與圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，則mn(　　) A．有最小值1＋，無最大值 B．有最小值3＋2，無最大值 C．有最大值3＋2，無最小值 D．有最小值3－2，最大值3＋2 押題依據(jù)　直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點，本題與基本不等式結(jié)合考查，靈活新穎，加之直線與圓的位置關(guān)系本身承載著不等關(guān)系，因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大． 答案　B 解析　根據(jù)圓心到直線的距離是2得到m，n的關(guān)系，然后結(jié)合不等式即可求解． 由直線(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0與圓(x－2)2＋(y－2)2＝4相切，可得＝2，整理得m＋n＋1＝mn，由m，n為正實數(shù)，可知m＋n≥2，令t＝，則2t＋1≤t2，因為t>0，所以t≥1＋，所以mn≥3＋2.故mn有最小值3＋2，無最大值．故選B. 3．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的長為2，則a＝________. 押題依據(jù)　本題已知公共弦長，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路． 答案　 解析　聯(lián)立兩圓方程 可得公共弦所在直線方程為ax＋2ay－5＝0， 故圓心(0,0)到直線ax＋2ay－5＝0的距離為 ＝(a>0)． 故2＝2， 解得a2＝， 因為a>0，所以a＝. A組　專題通關(guān) 1．設(shè)A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0 答案　A 解析　由于直線PA的傾斜角為45，且|PA|＝|PB|，故直線PB的傾斜角為135，又由題意知P(2,3)，∴直線PB的方程為y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故選A. 2．設(shè)a∈R，則“a＝－1”是“直線ax＋y－1＝0與直線x＋ay＋5＝0平行”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　直線ax＋y－1＝0與直線x＋ay＋5＝0平行的充要條件為即a＝1，故a＝－1是兩直線平行的充分而不必要條件．故選A. 3．過P(2,0)的直線l被圓(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的線段長為2時，直線l的斜率為(　　) A． B． C．1 D． 答案　A 解析　由題意得直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0. 由點到直線的距離公式得，圓心到直線l的距離d＝＝，由圓的性質(zhì)可得d2＋12＝r2， 即()2＋12＝9，解得k2＝，即k＝. 4．若圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0 答案　C 解析　圓x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圓心C的坐標為(－2,2)． 直線l過OC的中點(－1,1)，且垂直于直線OC，易知kOC＝－1，故直線l的斜率為1，直線l的方程為y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故選C. 5．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 答案　A 解析　兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 6．已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，l1∥l2，則a的值為________，直線l1與l2間的距離為________． 答案?。?　 解析　∵l1∥l2，∴a1＝－11?a＝－1， 此時l1：x＋y－1＝0， ∴l(xiāng)1，l2之間的距離為＝. 7．已知點A(－2,0)，B(0,2)，若點C是圓x2－2x＋y2＝0上的動點，則△ABC面積的最小值是________． 答案　3－ 解析　將圓的方程整理為標準方程得(x－1)2＋y2＝1，∴圓心坐標為(1,0)，半徑r＝1. ∵A(－2,0)，B(0,2)， ∴直線AB的方程為y＝x＋2， ∴圓心到直線AB的距離d＝＝， ∴△ABC中，AB邊上的高的最小值為d－r＝－1， 又|OA|＝|OB|＝2，OA⊥OB，∴|AB|＝2， 故△ABC面積的最小值為|AB|(d－r)＝3－. 8．(2016課標全國丙)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝______. 答案　4 解析　設(shè)AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R＝2，AB＝2，所以O(shè)M＝3，解得m＝－， 由解得A(－3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y－＝－(x＋3)，BD的直線方程為y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4. 9．已知點A(3,3)，B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程． 解　解方程組得交點P(1,2)． ①若點A，B在直線l的同側(cè)，則l∥AB. 而kAB＝＝－， 由點斜式得直線l的方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. ②若點A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(4，)， 由兩點式得直線l的方程為＝， 即x－6y＋11＝0. 綜上所述，直線l的方程為 x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 10．(2015課標全國Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|. 解　(1)由題設(shè)可知，直線l的方程為y＝kx＋1， 因為l與C交于兩點，所以<1. 解得，圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意，應舍去． 綜上，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.