高中數(shù)學(xué) 綜合檢測試題 新人教A版必修2

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綜合檢測試題 (時間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.(2015景德鎮(zhèn)期末)已知直線x-y-2=0,則該直線的傾斜角為(　A　) (A)30 (B)60 (C)120 (D)150 解析:直線x-y-2=0的斜率k=,故傾斜角為30,選A. 2.(2015濮陽綜合高中月考)過點A(4,a)和B(5,b)的直線與y=x+m平行,則|AB|的值為(　B　) (A)6 (B) (C)2 (D)不確定 解析:由kAB==1,得b-a=1, 即|AB|==.故選B. 3.(2015葫蘆島期末)在空間直角坐標(biāo)系中已知點P(0,0,)和點C(-1,2,0),則在y軸上到P和C的距離相等的點M坐標(biāo)是(　C　) (A)(0,1,0) (B)（0,-,0） (C)（0,,0） (D)(0,2,0) 解析:設(shè)M(0,y,0),則|MP|=|MC|,所以=,解得y=,故選C. 4若直線(1+a)x+y+1=0與圓x2+y2-2x=0相切,則a的值為(　D　) (A)1或-1 (B)2或-2 (C)1 (D)-1 解析:圓x2+y2-2x=0的圓心(1,0),半徑為1,依題意得=1,即|a+2|=, 平方整理得a=-1,故選D. 5(2015中山市楊仙逸中學(xué)檢測)如圖是某幾何體的三視圖,其中正視圖是腰長為2的等腰三角形,俯視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的體積是(　D　) (A)π (B)π (C)π (D)π 解析:由題意知,該幾何體為沿軸截面切開的半個圓錐,圓錐的半徑為1,高為,故所求體積為π12=π,選D. 6.(2015銀川一中期末)在空間給出下面四個命題(其中m,n為不同的兩條直線,α,β為不同的兩個平面) ①m⊥α,n∥α?m⊥n?、趍∥n,n∥α?m∥α?、踡∥n,n⊥β,m∥α?α⊥β?、躮∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β?α∥β 其中正確的命題個數(shù)有(　C　) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:②中m也可能在平面α內(nèi),②錯,①③④正確,故選C. 7.直線l將圓x2+y2-2x-4y=0平分,且與直線x+2y=0垂直,則直線l的方程是(　A　) (A)2x-y=0 (B)2x-y-2=0 (C)x+2y-3=0 (D)x-2y+3=0 解析:依題意知直線l過圓心(1,2),斜率k=2,所以l的方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0,故選A. 8.(2015大連六校聯(lián)考)若點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值為(　D　) (A) (B)- (C)或 (D)-或- 解析:由=,解得a=-或-,故選D. 9.點P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為(　C　) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 解析:利用正方體求解,如圖所示:PA與BD所成的角,即為PA與PQ所成的角,因為 △APQ為等邊三角形,所以∠APQ=60,故PA與BD所成角為60,選C. 10.在四面體ABCD中,棱AB,AC,AD兩兩互相垂直,則頂點A在底面BCD上的投影H為△BCD的(　A　) (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)內(nèi)心 解析:因為AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 因為AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD. 因為AH⊥平面BCD,所以AH⊥CD,AB∩AH=A, 所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH. 同理可證CH⊥BD,DH⊥BC,則H是△BCD的垂心. 故選A. 11.圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有(　C　) (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:圓x2+y2+2x+4y-3=0的圓心坐標(biāo)是(-1,-2),半徑是2,圓心到直線x+y+1=0的距離為,∴過圓心平行于直線x+y+1=0的直線與圓有兩個交點,另一條與直線x+y+1=0的距離為的平行線與圓相切,只有一個交點,共有3個交點,故選C. 12.(2014德州高一期末)將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使得BD=a,則三棱錐DABC的體積為(　A　) (A)a3 (B) (C)a3 (D) 解析:取AC的中點O,如圖, 則BO=DO=a, 又BD=a,所以BO⊥DO,又DO⊥AC, 所以DO⊥平面ACB, =S△ABCDO=a2a=a3. 故選A. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.(2015吉林學(xué)業(yè)水平檢測)給出兩條平行直線l1:3x-4y-1=0,l2:3x-4y+2=0,則這兩條直線間的距離是　　　　. 解析:d==. 答案: 14.(2014高考山東卷)一個六棱錐的體積為2,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為　　　　. 解析:設(shè)該六棱錐的高是h.根據(jù)體積公式得,V=26h,解得h=1, 則側(cè)面三角形的高為=2, 所以側(cè)面積S=226=12. 答案:12 15.如圖,已知平面α⊥平面β,α∩β=l,A∈l,B∈l,AC?α,BD?β,AC⊥l,BD⊥l,且AB=4,AC=3,BD=12,則CD=　　　　. 解析:連接BC(圖略),因為AC⊥l,AC=3,AB=4, 所以BC=5. 因為BD⊥l,l=α∩β,α⊥β,BD?β,所以BD⊥α. 又BC?α,所以BD⊥BC. 在Rt△BDC中,CD==13. 答案:13 16.直線x-2y-3=0與圓(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B兩點,則△AOB(O為坐標(biāo)原點)的面積為　　　　. 解析:圓心坐標(biāo)(2,-3),半徑r=3,圓心到直線x-2y-3=0的距離d=,弦長|AB|=2=4. 又原點(0,0)到AB所在直線的距離h=,所以△AOB的面積為S=4=. 答案: 三、解答題(本大題共5小題,共70分) 17.(本小題滿分14分) (2015福建八縣一中聯(lián)考)已知直線l:kx-y+1-2k=0(k∈R). (1)證明:直線l過定點; (2)若直線l交x軸正半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標(biāo)原點,且|OA|=|OB|,求k的值. (1)證明:法一　直線l的方程可化為y-1=k(x-2), 故無論k取何值,直線l總過定點(2,1). 法二　設(shè)直線過定點(x0,y0),則kx0-y0+1-2k=0對任意k∈R恒成立,即(x0-2)k-y0+1=0恒成立, 所以 解得x0=2,y0=1,故直線l總過定點(2,1). (2)解:因直線l的方程為y=kx-2k+1, 則直線l在y軸上的截距為1-2k,在x軸上的截距為2-, 依題意1-2k=2->0,解得k=-1或k=(經(jīng)檢驗,不合題意) 所以所求k=-1. 18.(本小題滿分14分)(2015西安一中期末)已知正方體ABCDA1B1C1D1,O是底面ABCD對角線的交點. 求證:(1)C1O∥平面AB1D1; (2)A1C⊥平面AB1D1. 證明:(1)連接A1C1, 設(shè)A1C1∩B1D1=O1,連接AO1, 因為ABCDA1B1C1D1是正方體,所以A1ACC1是平行四邊形,D1B1∩AB1=B1, 所以A1C1∥AC,且A1C1=AC, 又O1,O分別是A1C1,AC的中點, 所以O(shè)1C1∥AO且O1C1=AO, 所以AOC1O1是平行四邊形, 所以C1O∥AO1,AO1?平面AB1D1,C1O?平面AB1D1, 所以C1O∥平面AB1D1, (2)因為CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1, 又因為A1C1⊥B1D1, 所以B1D1⊥平面A1C1C,即A1C⊥B1D1, 同理可證A1C⊥AB1,又D1B1∩AB1=B1, 所以A1C⊥平面AB1D1. 19.(本小題滿分14分) 求圓心在直線y=-2x上,并且經(jīng)過點A(0,1),與直線x+y=1相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解:因為圓心在直線y=-2x上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),則圓的方程為(x-a)2+(y+2a)2=r2, 圓經(jīng)過點A(0,1)且和直線x+y=1相切, 所以有 解得a=-,r=, 所以圓的方程為（x+）2+（y-）2=. 20.(本小題滿分14分)(2015銀川一中期末)如圖,長方體ABCDA1B1C1D1中, AD=AA1=1,AB=2,點E是棱AB上一點. (1)當(dāng)點E在AB上移動時,三棱錐DD1CE的體積是否變化?若變化,說明理由;若不變,求這個三棱錐的體積; (2)當(dāng)點E在AB上移動時,是否始終有D1E⊥A1D,證明你的結(jié)論. 解:(1)三棱錐DD1CE的體積不變, S△DCE=DCAD=21,DD1=1 所以==S△DCEDD1=11=. (2)當(dāng)點E在AB上移動時,始終有D1E⊥A1D. 證明:連接AD1,四邊形ADD1A1是正方形,所以A1D⊥AD1, 因為AE⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1,所以A1D⊥AB, 因為AB∩AD1=A,AB?平面AD1E,AD1?平面AD1E,所以A1D⊥平面AD1E, 因為D1E?平面AD1E,所以D1E⊥A1D. 21.(本小題滿分14分) 已知圓C:x2+y2-2x+4my+4m2=0,圓C1:x2+y2=25,以及直線l:3x-4y-15=0. (1)求圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長; (2)當(dāng)m為何值時,圓C與圓C1的公共弦平行于直線l; (3)是否存在m,使得圓C被直線l所截的弦AB中點到點P(2,0)距離等于弦AB長度的一半?若存在,求圓C的方程;若不存在,請說明理由. 解:(1)因為圓C1:x2+y2=25的圓心O(0,0),半徑r=5, 所以,圓心O到直線l:3x-4y-15=0的距離 d==3, 由勾股定理可知, 圓C1:x2+y2=25被直線l截得的弦長為2=2=8. (2)圓C與圓C1的公共弦方程為2x-4my-4m2-25=0, 因為該公共弦平行于直線l, 令=,解得m=, 經(jīng)檢驗m=符合題意,故所求m=. (3)假設(shè)這樣實數(shù)m存在. 設(shè)弦AB中點為M,由已知得|AB|=2|PM|,即|AM|=|BM|=|PM| 所以點P(2,0)在以弦AB為直徑的圓上. 設(shè)以弦AB為直徑的圓方程為x2+y2-2x+4my+4m2+λ(3x-4y-15)=0, 則? 消去λ得100m2-144m+216=0,25m2-36m+54=0, 因為Δ=362-42554=36(36-256)<0, 所以方程25m2-36m+54=0無實數(shù)根, 所以,假設(shè)不存在,即這樣的圓不存在.