八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版23

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廣西桂林一中2015-2016學(xué)年八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分） 1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．二次根式有意義的條件是（　?。? A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3 3．正方形面積為36，則對角線的長為（　?。? A．6 B． C．9 D． 4．如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是（　?。? A． +1 B．﹣ +1 C．﹣1 D． 5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（　?。? A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，17 6．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（　　） A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．對角線互相平分且相等 7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　?。? A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 8．?ABCD中∠A為50，則∠B為（　　）度． A．50 B．40 C．130 D．150 9．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則EC等于（　?。? A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，若EF=3，則菱形ABCD的周長是（　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 12．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點F，則∠BEF=（　　） A．45 B．30 C．60 D．55 　 二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分） 13．若，則m﹣n的值為　　　　　?。? 14．比較大?。憨?　　　　　　﹣2． 15．已知菱形的兩條對角線長為8cm和6cm，那么這個菱形的周長是　　　　　　cm，面積是　　　　　　cm2． 16．如圖，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點D為AB的中點，則線段CD的長為　　　　　　． 17．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=　　　　　　度． 18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動點，則PE和PC的長度之和最小是　　　　　?。? 　 三．解答題：（本大題共66分） 19．（16分）（2016春?桂林校級期中）計算： （1） （2） （3） （4）． 20．已知長方形的長是cm，寬是cm，求這個長方形的周長和面積． 21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC． 22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）． （1）四邊形EFGH的形狀是　　　　　　，證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足　　　　　　條件時，四邊形EFGH是矩形； （3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？　　　　　　． 23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13． （1）求BC的長度； （2）線段BC與線段BD的位置關(guān)系是什么？說明理由． 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC． 25．閱讀下面問題： ； ； ． 試求：（1）的值； （2）（n為正整數(shù)）的值． （3）計算：． 26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=90，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)； （3）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)． 　  2015-2016學(xué)年廣西桂林一中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分） 1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】最簡二次根式． 【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是． 【解答】解：A、被開方數(shù)含分母，故A錯誤； B、被開方數(shù)含分母，故B錯誤； C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故C錯誤； D、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D正確； 故選：D． 【點評】本題考查最簡二次根式的定義，被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 2．二次根式有意義的條件是（　?。? A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x+3≥0，求出即可． 【解答】解：∵要使有意義，必須x+3≥0， ∴x≥﹣3， 故選C． 【點評】本題考查了二次根式有意義的條件的應(yīng)用，注意：要使有意義，必須a≥0． 　 3．正方形面積為36，則對角線的長為（　　） A．6 B． C．9 D． 【考點】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，且正方形對角線相等，列方程解答即可． 【解答】解：設(shè)對角線長是x．則有 x2=36， 解得：x=6． 故選：B． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，注意結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．此題也可首先根據(jù)面積求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理進行求解． 　 4．如圖所示：數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是（　　） A． +1 B．﹣ +1 C．﹣1 D． 【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出A點的坐標(biāo)． 【解答】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2， ∴斜邊長為： =， ∴﹣1到A的距離是，那么點A所表示的數(shù)為：﹣1． 故選C． 【點評】本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點A的符號后，點A所表示的數(shù)是距離原點的距離． 　 5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（　?。? A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，17 【考點】勾股數(shù)． 【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方． 【解答】解：A、42+32≠62，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤； B、82+152=172，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確； C、162+182≠212，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤； D、92+122≠172，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯誤． 故選B． 【點評】解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形． 　 6．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（　　） A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．對角線互相平分且相等 【考點】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】菱形的對角線互相垂直且平分，矩形的對角線相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對角線互相平分． 【解答】解：菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對角線互相平分．故本題選C． 【點評】熟悉菱形和矩形的對角線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 　 7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　） A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD 【考點】平行四邊形的判定． 【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用． 【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，則四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形；故本選項錯誤； B、AB=CD，AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項正確； C、∠A=∠B，∠C=∠D，則四邊形為等腰梯形或矩形；故本選項錯誤； D、AB=AD，CB=CD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項錯誤． 故選B． 【點評】此題考查了平行四邊形的判定．注意掌握舉反例的解題方法是解此題的關(guān)鍵． 　 8．?ABCD中∠A為50，則∠B為（　?。┒龋? A．50 B．40 C．130 D．150 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補即可得出∠B的度數(shù)． 【解答】解：∵在?ABCD中∠A=50， ∴∠B=180﹣∠A=180﹣50=130． 故選C． 【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，比較簡單，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角相等，鄰角互補的性質(zhì)． 　 9．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點E，則EC等于（　?。? A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根據(jù)AD、AB的值，求出EC的值． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠BAE=∠BEA ∴BE=AB=3 ∵BC=AD=5 ∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2 故選：B． 【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題． 　 10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，若EF=3，則菱形ABCD的周長是（　?。? A．12 B．16 C．20 D．24 【考點】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出BC，再根據(jù)菱形的周長公式列式計算即可得解． 【解答】解：∵E、F分別是AB、AC的中點， ∴EF是△ABC的中位線， ∴BC=2EF=23=6， ∴菱形ABCD的周長=4BC=46=24． 故選：D． 【點評】本題主要考查了菱形的四條邊都相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出菱形的邊長是解題的關(guān)鍵． 　 11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】因為BC為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設(shè)D′F=x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到結(jié)果． 【解答】解：易證△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF， 設(shè)D′F=x，則AF=8﹣x， 在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42， 解之得：x=3， ∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5， ∴S△AFC=?AF?BC=10． 故選C． 【點評】本題考查了翻折變換﹣折疊問題，勾股定理的正確運用，本題中設(shè)D′F=x，根據(jù)直角三角形AFD′中運用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線DE交BC于點F，則∠BEF=（　?。? A．45 B．30 C．60 D．55 【考點】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先設(shè)∠BAE=x，根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=AD，∠BAD=90，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB和∠AED的度數(shù)，根據(jù)平角定義求出即可． 【解答】解：設(shè)∠BAE=x， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90，AB=AD， ∵AE=AB， ∴AB=AE=AD， ∴∠ABE=∠AEB=（180﹣∠BAE）=90﹣x， ∠DAE=90﹣x， ∠AED=∠ADE=（180﹣∠DAE）= [180﹣（90﹣x）]=45+x， ∴∠BEF=180﹣∠AEB﹣∠AED =180﹣（90﹣x）﹣（45+x） =45． 答：∠BEF的度數(shù)是45． 【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是如何把已知角的未知角結(jié)合起來，題目比較典型，但是難度較大． 　 二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分） 13．若，則m﹣n的值為　4?。? 【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】根據(jù)任何非負(fù)數(shù)的平方根以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個非負(fù)數(shù)的和等于0，則這兩個非負(fù)數(shù)一定都是0，即可得到關(guān)于m．n的方程，從而求得m，n的值，進而求解． 【解答】解：根據(jù)題意得：， 解得：． 則m﹣n=3=（﹣1）=4． 故答案是：4． 【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0． 　 14．比較大小：﹣3?。肌々?． 【考點】實數(shù)大小比較． 【分析】先把兩數(shù)平方，再根據(jù)實數(shù)比較大小的方法即可比較大?。? 【解答】解：∵（3）2=18，（2）2=12， ∴﹣3＜﹣2． 故答案為：＜． 【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小的比較，實數(shù)大小比較法則： （1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)； （2）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小． 　 15．已知菱形的兩條對角線長為8cm和6cm，那么這個菱形的周長是　20　cm，面積是　24　cm2． 【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出兩對角線長的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長，再根據(jù)周長公式計算即可得解； 根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解． 【解答】解：∵菱形的兩條對角線長為8cm和6cm， ∴菱形的兩條對角線長的一半分別為4cm和3cm， 根據(jù)勾股定理，邊長==5cm， 所以，這個菱形的周長是54=20cm， 面積=86=24cm2． 故答案為：20，24． 【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，另外，菱形的面積可以利用底乘以高，也可以利用對角線乘積的一半求解． 　 16．如圖，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點D為AB的中點，則線段CD的長為　　． 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理的逆定理． 【分析】本題考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：觀察圖形 AB==，AC==3，BC==2 ∴AC2+BC2=AB2，∴三角形為直角三角形， ∵直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 ∴CD=． 【點評】解決此類題目要熟記斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意勾股定理的應(yīng)用． 　 17．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=　90　度． 【考點】菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠3，故可得出?AEDF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF為平行四邊形， ∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3， ∵AD是△ABC的角平分線， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AE=DE． ∴?AEDF為菱形． ∴AD⊥EF，即∠AOF=90． 故答案為：90． 【點評】本題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出四邊形AEDF是菱形是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動點，則PE和PC的長度之和最小是　?。? 【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)． 【分析】連接AC、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線BD對稱，故AE的長即為PE+PC的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可． 【解答】解：如圖所示：連接AC、AE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴A、C關(guān)于直線BD對稱， ∴AE的長即為PE+PC的最小值， ∵BE=2，CE=1， ∴BC=AB=2+1=3， 在Rt△ABE中， ∵AE===， ∴PE與PC的和的最小值為． 故答案為：． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題及正方形的性質(zhì)，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵． 　 三．解答題：（本大題共66分） 19．（16分）（2016春?桂林校級期中）計算： （1） （2） （3） （4）． 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】（1）首先化簡二次根式進而合并同類二次根式進而得出答案； （2）直接利用二次根式除法運算法則求出答案； （3）直接利用平方差公式計算得出答案； （4）利用完全平方公式以及二次根式乘法運算法則求出答案． 【解答】解：﹙1﹚原式=2+2﹣3+ =3﹣； ﹙2﹚原式==； ﹙3﹚原式=﹙3﹚2﹣﹙2﹚2 =18﹣12 =6； ﹙4﹚原式=2﹣2+3+6 =5﹣2+2 =5． 【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵． 　 20．已知長方形的長是cm，寬是cm，求這個長方形的周長和面積． 【考點】二次根式的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)長方形的周長公式列式，然后化成最簡二次根式，再合并同類二次根式即可； 根據(jù)長方形的面積公式列式，然后根據(jù)二次根式的乘法運算進行計算即可得解． 【解答】解：周長=2（+）， =2（3+2）， =（6+4）cm； 面積=， =32， =6cm2． 【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，主要利用了長方形的周長與面積公式以及二次根式的加法和乘法運算． 　 21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠BAD=∠BCD，證出∠DAE=∠AEB，由已知條件得出∠DAE=∠FCB=∠AEB，證出AE∥FC，得出四邊形AECF為平行四邊形，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥BC∠BAD=∠BCD， ∴AF∥EC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠DAE=∠BAD，∠FCB=∠BCD， ∴∠DAE=∠FCB=∠AEB， ∴AE∥FC， ∴四邊形AECF為平行四邊形， ∴AF=CE． 【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定；證明四邊形AECF為平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵． 　 22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）． （1）四邊形EFGH的形狀是　平行四邊形　，證明你的結(jié)論； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足　互相垂直　條件時，四邊形EFGH是矩形； （3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？　菱形　． 【考點】中點四邊形． 【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形； （2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形； （3）菱形的中點四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個角都是直角可得∠1=90，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90，再根據(jù)垂直定義解答． 【解答】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下： 如圖，連結(jié)BD． ∵E、H分別是AB、AD中點， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形； （2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點， ∴EH∥BD，HG∥AC， ∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， 又∵四邊形EFGH是平行四邊形， ∴平行四邊形EFGH是矩形； （3）菱形的中點四邊形是矩形．理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點， ∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH=BD，F(xiàn)G=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形． ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵EH∥BD，HG∥AC， ∴EH⊥HG， ∴平行四邊形EFGH是矩形． 故答案為：平行四邊形；互相垂直；菱形． 【點評】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵． 　 23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13． （1）求BC的長度； （2）線段BC與線段BD的位置關(guān)系是什么？說明理由． 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的長度； （2）運用勾股定理的逆定理即可判斷BC⊥BD． 【解答】解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC， ∴BC==5； （2）BC⊥BD，理由如下： ∵BC=5，BD=12，CD=13， ∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2， ∴∠CBD=90， ∴BC⊥BD． 【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，利用勾股定理即可求出BC的長度是解題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC． 【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理． 【分析】首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對應(yīng)角相等，易求得∠CDE+∠2=90，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90，利用勾股定理即可求得BF的長，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90，進而證明DE∥FC． 【解答】證明：延長BF交DE于H， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90，BC=CD， ∴∠BCF+∠FCD=90， ∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE， ∴∠ECD+∠FCD=90， ∴∠BCF=∠ECD． 在△BCF和△DCE中， ， ∴△BCF≌△DCE（SAS）， 延長BF交DE于H， ∴BF=DE，∠CBF=∠CDE， ∵∠CBF+∠1=90，∠1=∠2， ∴∠2+∠CDE=90， ∴∠DHF=90， ∴BF⊥DE， 在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90， ∴BF==4． ∵△BCF≌△DCE， ∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC． 【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 25．閱讀下面問題： ； ； ． 試求：（1）的值； （2）（n為正整數(shù)）的值． （3）計算：． 【考點】分母有理化． 【分析】（1）（2）仿照題目所給的分母有理化的方法進行計算； （3）將每一個二次根式分母有理化，再尋找抵消規(guī)律． 【解答】解：（1）= = =﹣； （2）= = =﹣； （3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣ =﹣1=10﹣1=9． 【點評】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同． 　 26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F． （1）在圖1中證明CE=CF； （2）若∠ABC=90，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)； （3）若∠ABC=120，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)． 【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可． （2）根據(jù)∠ABC=90，G是EF的中點可直接求得． （3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形． 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案 【解答】（1）證明：如圖1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF． （2）解：連接GC、BG， ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90， ∴四邊形ABCD為矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45， ∵∠DCB=90，DF∥AB， ∴∠DFA=45，∠ECF=90 ∴△ECF為等腰直角三角形， ∵G為EF中點， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF， ∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC， ∴BE=DC， ∵∠CEF=∠GCF=45， ∴∠BEG=∠DCG=135 在△BEG與△DCG中， ∵， ∴△BEG≌△DCG， ∴BG=DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA=90， 又∵∠DGC=∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA=90， ∴△DGB為等腰直角三角形， ∴∠BDG=45． （3）解：延長AB、FG交于H，連接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四邊形AHFD為平行四邊形 ∵∠ABC=120，AF平分∠BAD ∴∠DAF=30，∠ADC=120，∠DFA=30 ∴△DAF為等腰三角形 ∴AD=DF， ∴CE=CF， ∴平行四邊形AHFD為菱形 ∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形 ∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60 ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴BH=GF 在△BHD與△GFD中， ∵， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH=∠GDF ∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60 【點評】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．同學(xué)們在解決此類問題時，可以通過以下的步驟進行思考和分析：（1）通過測量或特殊情況的提示進行猜想；（2）根據(jù)猜想的結(jié)果進行聯(lián)想（如60度角可以聯(lián)想到等邊三角形，45度角可以聯(lián)想到等腰直角三角形等）；（3）在聯(lián)想的基礎(chǔ)上根據(jù)已知條件利用幾何變換（如旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱等）構(gòu)造全等解決問題．