九年級數(shù)學上學期第一次月考試卷（含解析） 蘇科版3

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江蘇省泰州市興化市顧莊學區(qū)三校2016-2017學年九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，共18分） 1．下列關于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0 2．兩名同學進行了10次三級蛙跳測試，經計算，他們的平均成績相同，若要比較這兩名同學的成績哪一位更穩(wěn)定，通常還需要比較他們成績的（　?。? A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．以上都不對 3．一個直角三角形斜邊長為10cm，內切圓半徑為1.5cm，則這個三角形周長是（　?。? A．22cm B．23cm C．24cm D．26cm 4．一個不透明的盒子中裝有6個大小相同的乒乓球，其中4個是黃球，2個是白球．從該盒子中任意摸出一個球，摸到黃球的概率是（　?。? A． B． C． D． 5．有下列四個命題中，其中正確的有（　?。? ①三角形的內心到三角形各邊的距離都相等； ②經過三個點一定可以作圓； ③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等； ④半徑相等的兩個半圓是等弧． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 6．在平面直角坐標系中，以點（3，﹣5）為圓心，r為半徑的圓上有且僅有兩點到x軸所在直線的距離等于1，則圓的半徑r的取值范圍是（　?。? A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜6 　 二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 7．寫出一個一根為零，并且二次項系數(shù)為1的一元二次方程　?。? 8．一組數(shù)據(jù)3、﹣1、0、2、x的極差是5，則x=　　． 9．方程x2﹣2mx﹣1=0根的情況是　?。? 10．某商店舉辦有獎銷售活動，購物滿100元者發(fā)兌獎劵一張，在1000張獎券中，設特等獎一個，一等獎10個，二等獎100個，若某人購物剛好滿100元，那么他中獎一等獎的概率是　?。? 11．如圖，AB是⊙O直徑，∠D=35，則∠BOC=　　度． 12．如圖是一個圓錐的正視圖，則該圓錐的側面積是　?。? 13．已知圓O的半徑為5，AB是圓O的直徑，D是AB延長線上一點，DC是圓O的切線，C是切點，連接AC，若∠CAB=30，則BD的長為　?。? 14．一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回到袋中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都摸出紅球的概率是　?。? 15．在△ABC中，點I是內心，若∠A=80，則∠DEF=　　度． 16．如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得的扇形DAB的面積為　?。? 　 三、解答題（共10小題，滿分102分） 17．（12分）解方程： ①9（x﹣1）2=4 ②3y2﹣6y+2=0 （配方法）． 18．（8分）八（1）班20名學生的第一次數(shù)據(jù)競賽的成績分布情況如表： 成績（分） 50 60 70 80 90 人數(shù)（人） 1 4 x y 2 （1）若成績的平均分為73分，求x、y的值； （2）在（1）的條件下，設此班20名學生競賽成績的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求a﹣b的值． 19．（8分）某社區(qū)準備在甲乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成績 9 4 7 4 6 乙成績 7 5 7 a 7 （1）a=　　， =　??； （2）①分別計算甲、乙成績的方差． ②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中． 20．（8分）在直徑為650mm的圓柱形油罐內裝進一些油后，其橫截面如圖，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度． 21．（10分）已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0 （1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根； （2）若等腰三角形ABC的底邊長為a=3，兩腰的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 22．（10分）如圖所示，可以自由轉動的轉盤被3等分，指針落在每個扇形內的機會均等． （1）現(xiàn)隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向1的概率為　??； （2）小明和小華利用這個轉盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由． 23．（10分）春秋旅行社為吸引市民組團去上海參觀世博會，推出了如下收費標準：如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元；如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元．某單位組織員工去上海參觀世博會，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去上海參觀世博會？ 24．（10分）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點． （1）求證：PN與⊙O相切； （2）如果∠MPC=30，PE=2，求劣弧的長． 25．（12分）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F． （1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC； （2）若∠E=∠F=42時，求∠A的度數(shù)； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小． 26．（14分）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優(yōu)弧上一動點（不與A、C重合）． （1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)； （2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形． （3）P點移動到什么位置時，△APC與△ABC全等，請說明理由． 　  2016-2017學年江蘇省泰州市興化市顧莊學區(qū)三校九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，共18分） 1．下列關于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0 【考點】根的判別式． 【分析】計算出各項中方程根的判別式的值，找出根的判別式的值大于等于0的方程即可． 【解答】解：A、這里a=1，b=0，c=1， ∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0， ∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意； B、這里a=1，b=1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0， ∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意； C、這里a=1，b=﹣1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0， ∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意； D、這里a=1，b=﹣1，c=﹣1， ∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0， ∴方程有兩個不相等實數(shù)根，本選項符合題意； 故選D 【點評】此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關鍵． 　 2．兩名同學進行了10次三級蛙跳測試，經計算，他們的平均成績相同，若要比較這兩名同學的成績哪一位更穩(wěn)定，通常還需要比較他們成績的（　?。? A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．以上都不對 【考點】統(tǒng)計量的選擇． 【分析】根據(jù)方差的意義：是反映一組數(shù)據(jù)波動大小，穩(wěn)定程度的量；方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，反之也成立．故要判斷哪一名學生的成績比較穩(wěn)定，通常需要比較這兩名學生三級蛙跳測試成績的方差． 【解答】解：由于方差能反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，需要比較這兩名學生三級蛙跳成績的方差． 故選：C． 【點評】本題考查方差的意義以及對其他統(tǒng)計量的意義的理解．它是反映一組數(shù)據(jù)波動大小，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，反之也成立． 　 3．一個直角三角形斜邊長為10cm，內切圓半徑為1.5cm，則這個三角形周長是（　?。? A．22cm B．23cm C．24cm D．26cm 【考點】三角形的內切圓與內心． 【分析】先畫圖，設AD=x，則BD=10﹣x，由切線長定理得AD=AF=x，BD=BE=10﹣x，可證明四邊形OECF為正方形，則CE=CF=1.5，再由三角形的周長公式求出這個三角形周長． 【解答】解：如圖， 設AD=x，則BD=10﹣x， ∵⊙O是△ABC內切圓， ∴AD=AF=x，BD=BE=10﹣x， ∵∠C=∠OFC=∠OEC=90，OE=OF， ∴四邊形OECF為正方形， ∴CE=CF=1.5， ∴這個三角形周長2x+2（10﹣x）+3=23． 故選B． 【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心，以及切線長定理，是基礎知識比較簡單． 　 4．一個不透明的盒子中裝有6個大小相同的乒乓球，其中4個是黃球，2個是白球．從該盒子中任意摸出一個球，摸到黃球的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】概率公式． 【分析】利用黃球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可得到答案． 【解答】解：∵盒子中裝有6個大小相同的乒乓球，其中4個是黃球， ∴摸到黃球的概率是=， 故選：C． 【點評】此題主要考查了概率公式的應用，關鍵是掌握概率公式：所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 5．有下列四個命題中，其中正確的有（　　） ①三角形的內心到三角形各邊的距離都相等； ②經過三個點一定可以作圓； ③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等； ④半徑相等的兩個半圓是等?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【考點】命題與定理． 【分析】利用弧的定義，構成圓的條件，外心性質以及內心性質判斷即可． 【解答】解：①三角形的內心到三角形各頂點的距離都相等，錯誤； ②經過三個點一定可以作圓，錯誤； ③三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，正確； ④半徑相等的兩個半圓是等弧，正確； 故選C． 【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解確定圓的條件、內心和外心的性質等知識，難度不大． 　 6．在平面直角坐標系中，以點（3，﹣5）為圓心，r為半徑的圓上有且僅有兩點到x軸所在直線的距離等于1，則圓的半徑r的取值范圍是（　?。? A．r＞4 B．0＜r＜6 C．4≤r＜6 D．4＜r＜6 【考點】直線與圓的位置關系． 【分析】根據(jù)題意可知，本題其實是利用圓與直線y=1和直線y=﹣1之間的位置關系來求得半徑r的取值范圍，根據(jù)相離時半徑小于圓心到直線的距離，相交時半徑大于圓心到直線的距離即可求得r的范圍． 【解答】解：根據(jù)題意可知到x軸所在直線的距離等于1的點的集合分別是直線y=1和直線y=﹣1， 若以點（3，﹣5）為圓心，r為半徑的圓上有且僅有兩點到x軸所在直線的距離等于1， 那么該圓與直線y=﹣1必須是相離的關系，與直線y=1必須是相交的關系， 所以r的取值范圍是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1， 即4＜r＜6． 故選D． 【點評】解決本題要認真分析題意，理清其中的數(shù)量關系．看似求半徑與x軸之間的關系，其實是利用圓與直線y=1和直線y=﹣1之間的位置關系來求得半徑r的取值范圍． 　 二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 7．寫出一個一根為零，并且二次項系數(shù)為1的一元二次方程　x2﹣4x=0?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】由題意可知：a=1，x1=0；只要再假設出另一根的值即可求出方程． 【解答】解：設x2=4， 由一元二次方程的基本形式：ax2+bx+c=0， 將a=1，x1=0，x2=4，代入上式得： ， 解得b=﹣4； 所以，方程是x2﹣4x=0； 本題答案不唯一． 【點評】本題是根據(jù)方程的兩根的定義，利用待定系數(shù)法求解方程式． 　 8．一組數(shù)據(jù)3、﹣1、0、2、x的極差是5，則x=　﹣2或4?。? 【考點】極差． 【分析】根據(jù)極差的公式：極差=最大值﹣最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分兩種情況討論． 【解答】解：當x是最大值，則x﹣（﹣1）=5， 所以x=4； 當x是最小值，則3﹣x=5， 所以x=﹣2； 故答案為﹣2或4． 【點評】本題考查了極差的定義，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值．同時注意分類的思想的運用． 　 9．方程x2﹣2mx﹣1=0根的情況是　兩個不相等的實數(shù)根?。? 【考點】根的判別式． 【分析】先計算△=（﹣2m）2﹣41（﹣1）=4m2+4，由于m2為非負數(shù)，則4m2+4＞0，即△＞0，根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac的意義即可判斷方程根的情況． 【解答】解：∵△=（﹣2m）2﹣4（﹣1）=4m2+4＞0， ∴兩個不相等的實數(shù)根， 故答案為：兩個不相等的實數(shù)根． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2﹣4ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根． 　 10．某商店舉辦有獎銷售活動，購物滿100元者發(fā)兌獎劵一張，在1000張獎券中，設特等獎一個，一等獎10個，二等獎100個，若某人購物剛好滿100元，那么他中獎一等獎的概率是　　． 【考點】概率公式． 【分析】根據(jù)在1000張獎券中，設特等獎一個，一等獎10個，二等獎100個，可以求得他中獎一等獎的概率，本題得以解決． 【解答】解：由題意可得， 他中獎一等獎的概率是：， 故答案為：． 【點評】本題考查概率公式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 　 11．如圖，AB是⊙O直徑，∠D=35，則∠BOC=　110　度． 【考點】圓周角定理． 【分析】由AB是⊙O直徑，∠D=35，根據(jù)圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，繼而求得答案． 【解答】解：∵∠D=35， ∴∠AOC=2∠D=70， ∵AB是⊙O直徑， ∴∠BOC=180﹣∠AOC=110． 故答案為：110． 【點評】此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 　 12．如圖是一個圓錐的正視圖，則該圓錐的側面積是　π?。? 【考點】由三視圖判斷幾何體；圓錐的計算． 【分析】根據(jù)圓錐正視圖的特點計算出圓錐的底面半徑和母線即可求出圓錐的側面積． 【解答】解：∵圓錐的底面半徑r==，母線長l=2， ∴圓錐的側面積為=πrl=π． 故答案為：π． 【點評】本題主要考查三視圖的應用以及圓錐的側面積公式，要求根據(jù)條件計算出圓錐的母線和底面半徑即可．要求熟練掌握圓錐的側面積公式． 　 13．已知圓O的半徑為5，AB是圓O的直徑，D是AB延長線上一點，DC是圓O的切線，C是切點，連接AC，若∠CAB=30，則BD的長為　5?。? 【考點】切線的性質；含30度角的直角三角形；圓周角定理． 【分析】先利用“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”得出∠COD=2∠A=60再解直角三角形可得CD長，最后用切割線定理可得BD長． 【解答】解：連接OC，BC， ∵AB是圓O的直徑，DC是圓O的切線，C是切點， ∴∠ACB=∠OCD=90， ∵∠CAB=30， ∴∠COD=2∠A=60，CD=OC?tan∠COD=5， 由切割線定理得，CD2=BD?AD=BD（BD+AB）， ∴BD=5． 故答案為：5． 【點評】本題利用了直徑對的圓周角是直角，切線的性質，切割線定理等． 　 14．一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回到袋中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都摸出紅球的概率是　?。? 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】先利用畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數(shù)，再找出兩次都摸出紅球的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解． 【解答】解：畫樹狀圖為： 共有9種等可能的結果數(shù)，其中兩次都摸出紅球的結果數(shù)為4， 所以任意摸出1個球，兩次都摸出紅球的概率=． 故答案為． 【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果數(shù)n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算出事件A或B的概率． 　 15．在△ABC中，點I是內心，若∠A=80，則∠DEF=　50　度． 【考點】三角形的內切圓與內心． 【分析】連接IF，ID，由點I是內心，得到∠ADI=∠AFI=90，根據(jù)四邊形的內角和得到∠DIF=100，由圓周角定理即可得到結論． 【解答】解：連接IF，ID， ∵點I是內心， ∴∠ADI=∠AFI=90， ∵∠A=80， ∴∠DIF=100， ∴∠DEF=50， 故答案為：50． 【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，圓周角定理，四邊形內角和定理的應用，掌握的作出輔助線是解題的關鍵． 　 16．如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得的扇形DAB的面積為　9?。? 【考點】扇形面積的計算． 【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB=lr，計算即可． 【解答】解：∵正方形的邊長為3， ∴弧BD的弧長=6， ∴S扇形DAB=lr=63=9． 故答案為：9． 【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB=lr． 　 三、解答題（共10小題，滿分102分） 17．（12分）（2016秋?興化市校級月考）解方程： ①9（x﹣1）2=4 ②3y2﹣6y+2=0 （配方法）． 【考點】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】（1）根據(jù)直接開平方法，可得方程的解； （2）根據(jù)配方法，可得方程的解． 【解答】解：（1）兩邊都除以9，得 （x﹣1）2=， 開方，得 x﹣1=， x1=，x2=； （2）移項，得 3y2﹣6y=﹣2，二次項系數(shù)化為1，得 y2﹣2y=﹣， 配方，得 y2﹣2y+1=， 即（y﹣1）2=， 開方，得 y﹣1=， y1=，y2=． 【點評】本題考查了解一元二次方程，利用配方法解題的關鍵是配方，配方法的步驟是移項，二次項系數(shù)化為1，配方，開方． 　 18．八（1）班20名學生的第一次數(shù)據(jù)競賽的成績分布情況如表： 成績（分） 50 60 70 80 90 人數(shù)（人） 1 4 x y 2 （1）若成績的平均分為73分，求x、y的值； （2）在（1）的條件下，設此班20名學生競賽成績的眾數(shù)為a，中位數(shù)為b，求a﹣b的值． 【考點】眾數(shù)；中位數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)題意可以得到關于x、y的二元一次方程組，解方程組即可求得x、y的值； （2）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．再代入計算可求a﹣b的值． 【解答】解：（1）由題意，得： ， 解得； （2）由（1）可知：a=80，b=75， 則a﹣b=80﹣75=5． 【點評】本題為統(tǒng)計題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義．會解二元一次方程組． 　 19．某社區(qū)準備在甲乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成績 9 4 7 4 6 乙成績 7 5 7 a 7 （1）a=　4　， =　6　； （2）①分別計算甲、乙成績的方差． ②請你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中． 【考點】方差；算術平均數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)他們的總成績相同，得出a=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4，進而得出═305=6． （2）①觀察圖，即可得出計算甲、乙成績的方差； ②因為兩人成績的平均水平（平均數(shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成績比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中． 【解答】解：（1）由題意得：甲的總成績是：9+4+7+4+6=30， 則a=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4， ═305=6； （2）甲的方差為： [（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]=3.6． 乙的方差為： [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]=1.6． ②因為兩人成績的平均水平（平均數(shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成績比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中； 故答案為：（1）4，6 【點評】此題主要考查了方差的定義以及折線圖和平均數(shù)的意義，根據(jù)已知得出a的值進而利用方差的意義比較穩(wěn)定性即可． 　 20．在直徑為650mm的圓柱形油罐內裝進一些油后，其橫截面如圖，若油面寬AB=600mm，求油的最大深度． 【考點】垂徑定理的應用；勾股定理． 【分析】首先過點O作OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA，由垂徑定理即可求得AC的長，然后由勾股定理，求得OC的長，繼而求得油的最大深度． 【解答】解：過點O作OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA， 由垂徑定理得：AC=AB=600=300（mm）， 在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2， ∴3002+OC2=3252， 解得：OC=125mm， ∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）． 答：油的最大深度是200mm． 【點評】此題考查了垂徑定理與勾股定理的應用．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用． 　 21．（10分）（2016秋?興化市校級月考）已知關于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0 （1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根； （2）若等腰三角形ABC的底邊長為a=3，兩腰的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 【考點】根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【分析】（1）根據(jù)方程各項的系數(shù)利用根的判別式即可得出△=（2k﹣3）2≥0，此題得證； （2）根據(jù)等腰三角形的性質即可得出k的值，將其代入方程求出b、c的值，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結論． 【解答】（1）證明：在方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0中， △=[﹣（2k+1）]2﹣414（k﹣）=（2k﹣3）2≥0， ∴不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根； （2）解：∵三角形為等腰三角形， ∴△=（2k﹣3）2=0， ∴k=． 將k=代入原方程中，得：x2﹣4x+4=0， 解得：b=c=2， ∴C△ABC=A+B+C=7． 【點評】本題考查了根的判別式以及等腰三角形的性質，根據(jù)方程根的判別式的符號確定方程解得情況是解題的關鍵． 　 22．（10分）（2014?鹽城）如圖所示，可以自由轉動的轉盤被3等分，指針落在每個扇形內的機會均等． （1）現(xiàn)隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向1的概率為　?。? （2）小明和小華利用這個轉盤做游戲，若采用下列游戲規(guī)則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由． 【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）三個等可能的情況中出現(xiàn)1的情況有一種，求出概率即可； （2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，求出兩人獲勝的概率，比較即可得到結果． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：隨機轉動轉盤一次，停止后，指針指向1的概率為； 故答案為：； （2）列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，之積為奇數(shù)的情況有4種， ∴P（小明獲勝）=，P（小華獲勝）=， ∵＞， ∴該游戲不公平． 【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平． 　 23．（10分）（2008?深圳模擬）春秋旅行社為吸引市民組團去上海參觀世博會，推出了如下收費標準：如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元；如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元．某單位組織員工去上海參觀世博會，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去上海參觀世博會？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設該單位這次共有x名員工去上海參觀世博會，根據(jù)每增加1人，人均旅游費用降低20元，且共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，可列出方程求解，根據(jù)人均旅游費用不得低于700元，判斷解是否合理． 【解答】解：∵100025=25000＜27000 ∴去的人一定超過25人 設該單位這次共有x名員工去上海參觀世博會， [1000﹣20（x﹣25）]x=27000， 解之得：x1=30，x2=45， 當x=30時，人均費用為900元． 當x=45時，人均費用為600元，因為低于700元，這種情況舍去． 所以x=30． 答：該單位這次共有30名員工去上海參觀世博會． 【點評】本題考查理解題意的能力，關鍵以支付給旅行社的費用作為等量關系列方程求解． 　 24．（10分）（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點． （1）求證：PN與⊙O相切； （2）如果∠MPC=30，PE=2，求劣弧的長． 【考點】切線的判定與性質；弧長的計算． 【分析】（1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切； （2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數(shù)，利用弧長公式即可求出劣弧的長． 【解答】（1）證明：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示， ∵PM與圓O相切， ∴OE⊥PM， ∴∠OEP=∠OFP=90， ∵PC平分∠MPN， ∴∠EPO=∠FPO， 在△PEO和△PFO中， ， ∴△PEO≌△PFO（AAS）， ∴OF=OE， 則PN與圓O相切； （2）在Rt△EPO中，∠MPC=30，PE=2， ∴∠EOP=60，OE=2， ∴∠EOB=120， 則的長l==． 【點評】此題考查了切線的判定與性質，弧長公式，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵． 　 25．（12分）（2015?佛山）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F． （1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC； （2）若∠E=∠F=42時，求∠A的度數(shù)； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小． 【考點】圓內接四邊形的性質；圓周角定理． 【分析】（1）根據(jù)外角的性質即可得到結論； （2）根據(jù)圓內接四邊形的性質和等量代換即可求得結果； （3）連結EF，如圖，根據(jù)圓內接四邊形的性質得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180，即2∠A+α+β=180，再解方程即可． 【解答】解：（1）∠E=∠F， ∵∠DCE=∠BCF， ∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF， ∴∠ADC=∠ABC； （2）由（1）知∠ADC=∠ABC， ∵∠EDC=∠ABC， ∴∠EDC=∠ADC， ∴∠ADC=90， ∴∠A=90﹣42=48； （3）連結EF，如圖， ∵四邊形ABCD為圓的內接四邊形， ∴∠ECD=∠A， ∵∠ECD=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2， ∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180， ∴2∠A+α+β=180， ∴∠A=90﹣． 【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補． 　 26．（14分）（2012?張家界）如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線DC，P點為優(yōu)弧上一動點（不與A、C重合）． （1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)； （2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形． （3）P點移動到什么位置時，△APC與△ABC全等，請說明理由． 【考點】切線的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定． 【分析】（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC為等邊三角形，可得出三個內角都為60，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到∠APC為30，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD為直角，用∠OCD﹣∠OCA可得出∠ACD的度數(shù)； （2）由∠AOC為60，AB為圓O的直徑，得到∠BOC=120，再由P為的中點，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧對等角，可得出∠COP=∠BOP=60，進而得到三角形COP與三角形BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形； （3）P有兩個位置使三角形APC與三角形ABC全等，其一：P與B重合時，顯然兩三角形全等；第二：當CP為圓O的直徑時，此時兩三角形全等，理由為：當CP與AB都為圓的直徑時，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出三角形ACP與三角形ABC為直角三角形，由AB=CP，AC為公共邊，利用HL即可得到直角三角形ACP與直角三角形ABC全等． 【解答】解：（1）連接AC，如圖所示： ∵AC=2，OA=OB=OC=AB=2， ∴AC=OA=OC， ∴△ACO為等邊三角形， ∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60， ∴∠APC=∠AOC=30， 又DC與圓O相切于點C， ∴OC⊥DC， ∴∠DCO=90， ∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90﹣60=30；…（4分） （2）連接PB，OP， ∵AB為直徑，∠AOC=60， ∴∠COB=120， 當點P移動到CB的中點時，∠COP=∠POB=60， ∴△COP和△BOP都為等邊三角形， ∴OC=CP=OB=PB， 則四邊形OBPC為菱形；…（8分） （3）當點P與B重合時，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC； 當點P繼續(xù)運動到CP經過圓心時，△ABC≌△CPA，理由為： ∵CP與AB都為圓O的直徑， ∴∠CAP=∠ACB=90， 在Rt△ABC與Rt△CPA中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）． 綜上所述當點P與點B重合或CP經過圓心時，△APC與△ABC全等 【點評】此題考查切線的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質，以及弧、圓心角及弦之間的關系，熟練掌握性質與判定是解本題的關鍵．