九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版8 (6)

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2016-2017學年江西省宜春三中九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列安全標志圖中，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．一元二次方程x2﹣1=0的根是（　?。? A．1 B．﹣1 C． D．1 3．用配方法解方程x2+8x﹣9=0時，此方程可變形為（　?。? A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=9 D．（x+4）2=﹣7 4．如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉得到菱形DFOE，則下列角中不是旋轉角的為（　?。? A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF 5．根據下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）一個解的范圍是（　?。? x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 6．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（　?。? A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1 　 二．填空題： 7．若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一個根，則a=　?。? 8．在直角坐標系中，點A（1，﹣2）關于原點對稱的點的坐標是　?。? 9．拋物線y=x2﹣2x﹣8與x軸的交點坐標是　　． 10．將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若∠AOD=110，則∠COB=　　度． 11．如圖所示，在直角坐標系中，△A′B′C′是由△ABC繞點P旋轉一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），則旋轉中心點P的坐標是　　． 12．如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是　?。? 　 三．解答題 13．解方程：2x2﹣4x+1=0． 14．已知拋物線l1的最高點為P（3，4），且經過點A（0，1），求l1的解析式． 15．隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降．常德市2012年銷售煙花爆竹20萬箱，到2014年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱．求常德市2012年到2014年煙花爆竹年銷售量的平均下降率． 16．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，該拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），請回答以下問題． （1）求拋物線與x軸的另一個交點坐標　??； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解為　　； （3）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是　　． 17．如圖，△ABC是直角三角形，延長AB到點E，使BE=BC，在BC上取一點F，使BF=AB，連接EF，△ABC旋轉后能與△FBE重合，請回答： （1）旋轉中心是點　　，旋轉的最小角度是　　度 （2）AC與EF的位置關系如何，并說明理由． 　 四． 18．已知關于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0． （1）若此一元二次方程有實數根，求k的取值范圍． （2）選一個你認為合適的整數k代入原方程，并解此方程． 19．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上， （1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1． （2）畫出△ABC繞原點O旋轉180后的△A2B2C2，并寫出A2、B2、C2的坐標 （3）假設每個正方形網格的邊長為1，求△A1B1C1的面積． 20．已知二次函數y=2x2+bx﹣1． （1）若兩點P（﹣3，m）和Q（1，m）在該函數圖象上．求b、m的值； （2）設該函數的頂點為點B，求出點B 的坐標并求三角形BPQ的面積． 21．某商品的進價為每件20元，售價為每件25元時，每天可賣出250件．市場調查反映：如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件． （1）求出每天所得的銷售利潤w（元）與每件漲價x（元）之間的函數關系式；并寫出自變量的取值范圍 （2）商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案． 方案A：每件商品漲價不超過11元； 方案B：每件商品的利潤至少為16元． 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 　 五、（第一題10分，第二題12分，共22分） 22．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)． （1）證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形； （2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等； （3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數． 23．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3） （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的坐標，如果不存在，請說明理由； （3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F， ①求直線BC 的解析式； ②當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標． 　  2016-2017學年江西省宜春三中九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 1．下列安全標志圖中，是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意； B、是中心對稱圖形，故此選項符合題意； C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意； D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意； 故選：B． 【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合． 　 2．一元二次方程x2﹣1=0的根是（　?。? A．1 B．﹣1 C． D．1 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】首先把﹣1移到等號左邊，再兩邊直接開平方即可． 【解答】解：x2﹣1=0， x2=1， 兩邊直接開平方得：x=1， 則x1=1，x2=﹣1， 故選：D． 【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數的開方直接求解． 　 3．用配方法解方程x2+8x﹣9=0時，此方程可變形為（　?。? A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=9 D．（x+4）2=﹣7 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】將方程常數項移動右邊，兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果． 【解答】解：x2+8x﹣9=0， 移項得：x2+8x=9， 配方得：x2+8x+16=25，即（x+4）2=25． 故選B 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟掌握完全平方公式是解本題的關鍵． 　 4．如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉得到菱形DFOE，則下列角中不是旋轉角的為（　　） A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF 【考點】旋轉的性質；菱形的性質． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉角，結合圖形即可得出答案． 【解答】解：OB旋轉后的對應邊為OF，故∠BOF可以作為旋轉角，故本選項錯誤； B、OA旋轉后的對應邊為OD，故∠AOD可以作為旋轉角，故本選項錯誤； C、OC旋轉后的對應邊為OE，故∠COE可以作為旋轉角，故本選項錯誤； D、OC旋轉后的對應邊為OE不是OF，故∠COF不可以作為旋轉角，故本選項正確； 故選D． 【點評】此題考查了旋轉的性質，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握兩對應邊所組成的角都可以作為旋轉角，難度一般． 　 5．根據下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）一個解的范圍是（　?。? x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 【考點】圖象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根據函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的根，再根據函數的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍． 【解答】解：函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的根， 函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的縱坐標為0； 由表中數據可知：y=0在y=﹣0.02與y=0.03之間， ∴對應的x的值在3.24與3.25之間，即3.24＜x＜3.25． 故選：C． 【點評】掌握函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點與方程ax2+bx+c=0的根的關系是解決此題的關鍵所在． 　 6．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（　?。? A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式寫出拋物線解析式即可． 【解答】解：拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位后的拋物線頂點坐標為（﹣2，﹣1）， 所得拋物線為y=3（x+2）2﹣1． 故選C． 【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵． 　 二．填空題： 7．若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一個根，則a=　2?。? 【考點】一元二次方程的解． 【專題】計算題． 【分析】根據一元二次方程的解，把x=2代入x2﹣2a=0得關于a的一次方程，然后解一次方程即可得到a的值． 【解答】解：把x=2代入x2﹣2a=0得4﹣2a=0， 解得a=2． 故答案為2． 【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根． 　 8．在直角坐標系中，點A（1，﹣2）關于原點對稱的點的坐標是?。ī?，2）　． 【考點】關于原點對稱的點的坐標． 【分析】根據“平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數”解答． 【解答】解：根據關于原點對稱的點的坐標的特點， ∴點（1，﹣2）關于原點過對稱的點的坐標是（﹣1，2）． 故答案為：（﹣1，2）． 【點評】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標的特點，正確掌握橫縱坐標的關系是解題關鍵． 　 9．拋物線y=x2﹣2x﹣8與x軸的交點坐標是?。?，0）（﹣2，0）?。? 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】要求拋物線與x軸的交點，即令y=0，解方程即可． 【解答】解：令y=0，則x2﹣2x﹣8=0． （x﹣4）（x+2）=0 解得x=4或x=﹣2． 則拋物線y=x2﹣2x﹣8與x軸的交點坐標是（4，0），（﹣2，0）． 故答案為：（4，0），（﹣2，0）． 【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．關鍵是掌握求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標． 　 10．將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若∠AOD=110，則∠COB=　70　度． 【考點】角的計算． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】∠COB是兩個直角的公共部分，同時兩個直角的和是180，所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COB． 【解答】解：由題意可得∠AOB+∠COD=180， 又∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠COB+∠BOD=∠AOD+∠COB， ∵∠AOD=110， ∴∠COB=70． 故答案為：70． 【點評】求解時正確地識圖是求解的關鍵． 　 11．如圖所示，在直角坐標系中，△A′B′C′是由△ABC繞點P旋轉一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），則旋轉中心點P的坐標是?。?，0）?。? 【考點】坐標與圖形變化-旋轉． 【分析】連接AA′，CC′，線段AA′、CC′的垂直平分線的交點就是點P． 【解答】解：如圖所示，點P的坐標是（5，0）． 故答案是：（5，0）． 【點評】本題考查坐標與圖形變化﹣﹣旋轉，掌握對應點連線段的垂直平分線的交點就是旋轉中心，是解題的關鍵． 　 12．如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是　15或165?。? 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質． 【專題】壓軸題；分類討論． 【分析】利用正方形的性質和等邊三角形的性質證明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性質和已知條件即可求出當BE=DF時，∠BAE的大小，應該注意的是，正三角形AEF可以再正方形的內部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解． 【解答】解：①當正三角形AEF在正方形ABCD的內部時，如圖1， ∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合， 當BE=DF時， ∴， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60， ∴∠BAE+∠FAD=30， ∴∠BAE=∠FAD=15， ②當正三角形AEF在正方形ABCD的外部時． ∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合， 當BE=DF時， ∴AB=AD BE=DF AE=AF， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE=∠FAD， ∵∠EAF=60， ∴∠BAE=（360﹣90﹣60）+60=165， ∴∠BAE=∠FAD=165 故答案為：15或165． 【點評】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、旋轉的性質以及全等三角形的判定和全等三角形的性質和分類討論的數學思想，題目的綜合性不小． 　 三．解答題 13．解方程：2x2﹣4x+1=0． 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】先化二次項系數為1，然后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣2x=﹣， 等式的兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得 x2﹣2x+1=， 配方，得 （x﹣1）2=， 直接開平方，得 x﹣1=， x1=1+，x2=1﹣． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程兩邊同時除以二次項系數，即化成x2+px+q=0，然后配方． 　 14．已知拋物線l1的最高點為P（3，4），且經過點A（0，1），求l1的解析式． 【考點】二次函數的最值． 【分析】物線的頂點式解析式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，代入頂點坐標另一點求出a的值即可． 【解答】解：∵拋物線l1的最高點為P（3，4）， ∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣3）2+4， 把點（0，1）代入得， 1=a（0﹣3）2+4， 解得，a=﹣， ∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣3）2+4． 【點評】此題考查待定系數法求函數解析式，根據題目中的已知條件，靈活選用二次函數解析式的形式解決問題． 　 15．隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降．常德市2012年銷售煙花爆竹20萬箱，到2014年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱．求常德市2012年到2014年煙花爆竹年銷售量的平均下降率． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】先設常德市2012年到2014年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，那么把2012年的煙花爆竹銷售量看做單位1，在此基礎上可求2013年的年銷售量，以此類推可求2014年的年銷售量，而2014年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱，據此可列方程，解即可． 【解答】解：設常德市2012年到2014年煙花爆竹年銷售量的平均下降率是x，依題意得 20（1﹣x）2=9.8， 解這個方程，得x1=0.3，x2=1.7， 由于x2=1.7不符合題意，即x=0.3=30%． 答：常德市2012年到2014年煙花爆竹年銷售量的平均下降率為30%． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解． 　 16．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，該拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），請回答以下問題． （1）求拋物線與x軸的另一個交點坐標?。?，0）　； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解為　x1=﹣1，x2=3?。? （3）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是　﹣1＞x或x＞3?。? 【考點】二次函數與不等式（組）；拋物線與x軸的交點． 【分析】（1）直接利用二次函數對稱性得出拋物線與x軸的另一個交點坐標； （2）利用拋物線與x軸交點即為y=0時，對應x的值進而得出答案； （3）利用不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集即為x軸下方對應x的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵該拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0），拋物線對稱軸為直線x=1， ∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為：（3，0）； 故答案為：（3，0）； （2）∵拋物線與x軸的交點坐標為：（﹣1，0），（3，0）， 故一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解為：x1=﹣1，x2=3； 故答案為：x1=﹣1，x2=3； （3）如圖所示：不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集是：﹣1＞x或x＞3． 故答案為：﹣1＞x或x＞3． 【點評】此題主要考查了二次函數與不等式，正確利用數形結合解題是解題關鍵． 　 17．如圖，△ABC是直角三角形，延長AB到點E，使BE=BC，在BC上取一點F，使BF=AB，連接EF，△ABC旋轉后能與△FBE重合，請回答： （1）旋轉中心是點　B　，旋轉的最小角度是　90　度 （2）AC與EF的位置關系如何，并說明理由． 【考點】旋轉的性質． 【分析】（1）由條件易得BC和BE，BA和BF為對應邊，而△ABC旋轉后能與△FBE重合，于是可判斷旋轉中心為點B；根據旋轉的性質得∠ABF等于旋轉角，從而得到旋轉角度； （2根據旋轉的性質即可判斷AC=EF，AC⊥EF． 【解答】解：（1）∵BC=BE，BA=BF， ∴BC和BE，BA和BF為對應邊， ∵△ABC旋轉后能與△FBE重合， ∴旋轉中心為點B； ∵∠ABC=90， 而△ABC旋轉后能與△FBE重合， ∴∠ABF等于旋轉角， ∴旋轉了90度， 故答案為：B，90； （2）AC⊥EF 理由如下： 延長EF交AC于點D由旋轉可知∠C=∠E ∵∠ABC=90 ∴∠C+∠A=90 ∴∠E+∠A=90 ∴∠ADE=90 ∴AC⊥EF． 【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等． 　 四． 18．已知關于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0． （1）若此一元二次方程有實數根，求k的取值范圍． （2）選一個你認為合適的整數k代入原方程，并解此方程． 【考點】根的判別式． 【專題】計算題． 【分析】（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式得到△=（﹣2）2﹣4k≥0且k≠0，然后求出兩不等式的公共部分即可； （2）取k=1得到原方程為x2﹣2x+1=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解（1）∵一元二次方程有實數根， ∴△=（﹣2）2﹣4k≥0且k≠0， ∴k≤1且k≠0； （2）當k=1時，原方程為x2﹣2x+1=0 解得x1=x2=1． 【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根． 　 19．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上， （1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1． （2）畫出△ABC繞原點O旋轉180后的△A2B2C2，并寫出A2、B2、C2的坐標 （3）假設每個正方形網格的邊長為1，求△A1B1C1的面積． 【考點】作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）先利用關于x軸對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1； （2）先利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出A2、B2、C2的坐標，然后描點即可得到△A2B2C2； （3）利用矩形的面積分別減去三個三角形的面積． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作； （2）如圖，△A2B2C2為所作，A2、B2、C2的坐標分別為（﹣2，﹣4），（﹣1，﹣2），（5，4）； （3）△A1B1C1的面積=24﹣21﹣13﹣41=． 【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了對稱軸變換． 　 20．已知二次函數y=2x2+bx﹣1． （1）若兩點P（﹣3，m）和Q（1，m）在該函數圖象上．求b、m的值； （2）設該函數的頂點為點B，求出點B 的坐標并求三角形BPQ的面積． 【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】（1）首先求出函數的對稱軸方程，進而求出b的值，再求出m的值即可； （2）求出函數的頂點坐標，再根據三角形的面積計算公式求出答案． 【解答】解：（1）由對稱性可知，對稱軸為x==﹣1， 即﹣=﹣1， 解得b=4， 解析式為y=2x2+4x﹣1， ∵點（1，m）在函數圖象上， ∴m=2+4﹣1=5， ∴b=4，m=5； （2）當x=﹣1時，y=﹣3， ∴頂點B（﹣1，3）， ∵點P（﹣3，5），點Q（1，5） ∴S△BPQ=48=16． 【點評】本題主要考查了二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是求出函數的解析式，此題難度不大． 　 21．某商品的進價為每件20元，售價為每件25元時，每天可賣出250件．市場調查反映：如果調整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件． （1）求出每天所得的銷售利潤w（元）與每件漲價x（元）之間的函數關系式；并寫出自變量的取值范圍 （2）商場的營銷部在調控價格方面，提出了A，B兩種營銷方案． 方案A：每件商品漲價不超過11元； 方案B：每件商品的利潤至少為16元． 請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 【考點】二次函數的應用；一元二次方程的應用． 【分析】（1）利用銷量每件利潤=總利潤，進而求出即可； （2）分別求出兩種方案的最值進而比較得出答案． 【解答】解：（1）根據題意得：w=（25+x﹣20）（250﹣10x） 即：w=﹣10x2+200x+1250或w=﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25） （2）由（1）可知，拋物線對稱軸是直線x=10，開口向下，對稱軸左側w隨x的增大而增大，對稱軸右側w隨x的增大而減小 方案A：根據題意得，x≤11，則0≤x≤11， 當x=10時，利潤最大，最大利潤為w=2250（元）， 方案B：根據題意得，25+x﹣20≥16， 解得：x≥11 則11≤x≤25， 故當x=11時，利潤最大， 最大利潤為w=﹣10112+20011+1250=2240（元）， ∵2250＞2240， ∴綜上所述，方案A最大利潤更高． 【點評】此題主要考查了二次函數的應用，根據題意利用函數性質得出最值是解題關鍵． 　 五、（第一題10分，第二題12分，共22分） 22．如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)． （1）證明：當旋轉角為90時，四邊形ABEF是平行四邊形； （2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等； （3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數． 【考點】菱形的判定；平行四邊形的判定與性質；旋轉的性質． 【專題】綜合題． 【分析】（1）當旋轉角為90時，∠AOF=90，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形； （2）證明△AOF≌△COE即可； （3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45． 【解答】（1）證明：當∠AOF=90時， ∵∠BAO=∠AOF=90， ∴AB∥EF， 又∵AF∥BE， ∴四邊形ABEF為平行四邊形． （2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， 在△AOF和△COE中 ． ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF=EC． （3）解：四邊形BEDF可以是菱形． 理由：如圖，連接BF，DE 由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF， ∴EF與BD互相平分． ∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形． 在Rt△ABC中，AC===2， ∴OA=1=AB， 又∵AB⊥AC， ∴∠AOB=45， ∴∠AOF=45， ∴AC繞點O順時針旋轉45時，四邊形BEDF為菱形． 【點評】此題結合旋轉的性質，主要考查平行四邊形和菱形的判定，有一定難度． 　 23．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點，y與軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知A（﹣1，0），C（0，3） （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線的對稱軸上是否存在P點，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的坐標，如果不存在，請說明理由； （3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F， ①求直線BC 的解析式； ②當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時點E的坐標． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）由待定系數法建立二元一次方程組求出m、n的值即可； （2）如圖1中，分兩種情形討論①當PD=DC時，當CP=CD時，分別寫出點P坐標即可． （3）先求出BC的解析式，設出點E的橫坐標為a，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關系式，由二次函數的性質就可以求出結論． 【解答】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2； （2）如圖1，∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴拋物線的對稱軸是直線x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=． ∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形， ∴CP1=DP2=DP3． 作CH⊥x軸于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）當y=0時，0=﹣x2+x+2 ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得 ， 解得：， ∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2． 如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣ a+2），F(xiàn)（a，﹣ a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN， =2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=， ∴E（2，1）． 【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，二次函數的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．