中考數(shù)學(xué)命題研究 第一編 教材知識(shí)梳理篇 第五章 圖形的相似與解直角三角形 第一節(jié) 圖形的相似與位似（精講）試題

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第五章 圖形的相似與解直角三角形 第一節(jié) 圖形的相似與位似 ,貴陽(yáng)五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號(hào) 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 選擇 7 相似三角形的判定與性質(zhì) 由相似三角形的性質(zhì)求對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng) 3 3 2015 選擇 6 相似三角形的性質(zhì) 已知相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，求面積的比 3 解答 25 與相似三角形有關(guān)的綜合問題 以矩形折疊為背景，利用相似求：(1)線段的長(zhǎng)；(2)三角形周長(zhǎng)的最小值；(3)四邊形周長(zhǎng)的最小值 12 15 2014 選擇 7 相似三角形的判定 以正方形網(wǎng)格為背景，找出滿足條件的相似點(diǎn) 3 3 2013 選擇 8 相似三角形的判定 以直角三角形的斜邊上的點(diǎn)為背景，找滿足相似條件的直線 3 3 2012 未考 命題 規(guī)律 縱觀貴陽(yáng)市5年中考，本節(jié)內(nèi)容共考查了5次，題型有選擇題4次，分值3分，解答題1次，分值12分，較難，綜合性強(qiáng)． 命題預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)市中考對(duì)本節(jié)內(nèi)容仍會(huì)作重點(diǎn)考查. ,貴陽(yáng)五年中考真題及模擬) 相似三角形的性質(zhì)(2次) 1．(2016貴陽(yáng)7題3分)如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，則DE的長(zhǎng)是( B ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．(2015貴陽(yáng)6題3分)如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3，那么這兩個(gè)相似三角形面積的比是( C ) A．2∶3 B.∶ C．4∶9 D．8∶27 相似三角形的判定(2次) 3．(2014貴陽(yáng)7題3分)如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ABC∽△EPD，則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為( C ) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 (第3題圖) (第4題圖) 4．(2013貴陽(yáng)8題3分)如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B，C的一定點(diǎn)，過M點(diǎn)作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有( C ) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 相似三角形的綜合應(yīng)用(1次) 5．(2015貴陽(yáng)考試說明)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，△DEF的面積為1，則△BCF的面積為( D ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2016貴陽(yáng)考試說明)如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B. (1)求證：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的長(zhǎng)． 解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵∠B＋∠C＝180，∠AFE＋∠AFD＝180且∠B＝∠AFE，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；(2)由(1)知：△ADF∽△DEC，得＝，∵AB＝8，AD＝6，AF＝4，∴DE＝12，∴AE＝＝6. 7．(2015貴陽(yáng)25題12分)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD＝3. (1)求MP的值； (2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合，當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最小？ (3)若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ＝2，當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)) 解：(1)MP＝5；(2)如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，∵AM＝AD－MP－PD＝4，∴AM＝AM′＝4，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，則ME＝MP＝5，在Rt△ENM中，MN＝＝3，∴NM′＝11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴＝，∴AF＝，∴當(dāng)AF＝時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??；(3)如圖2，由(2)知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER＝2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，則MG＋EQ最小，∴四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，∵ER＝GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE＝GR，QE＋GM＝GR＋GM′＝M′R，M′R＝＝5，∵M(jìn)E＝5，GQ＝2，∵M(jìn)G＋QE＝M′R，∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是7＋5. ,圖1) ,圖2) ,中考考點(diǎn)清單) 比例的相關(guān)概念及性質(zhì) 1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的__長(zhǎng)度__之比． 2．比例中項(xiàng)：如果＝，即b2＝__ac__，我們就把b叫做a、c的比例中項(xiàng)． 3．比例的性質(zhì) 性質(zhì)1 ＝?__ad__＝bc(a、b、c、d≠0) 性質(zhì)2 如果＝，那么＝ 性質(zhì)3 如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，則＝__(不唯一)__ 4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使＝____，那么點(diǎn)C叫做線段AC的__黃金分割點(diǎn)__，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做__黃金比__． 相似三角形的判定及性質(zhì)(高頻考點(diǎn)) 5．定義：對(duì)應(yīng)角__相等__，對(duì)應(yīng)邊__成比例__的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比． 6．性質(zhì)： (1)相似三角形的__對(duì)應(yīng)角__相等； (2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例； (3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于__相似比__，面積比等于__相似比的平方__． 7．判定： (1)__有兩角__對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似； (2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且__夾角__相等，兩三角形相似； (3)三邊__對(duì)應(yīng)成比例__，兩三角形相似； (4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊__對(duì)應(yīng)成比例__，兩直角三角形相似． 相似多邊形 8．定義：對(duì)應(yīng)角__相等__，對(duì)應(yīng)邊__成比例__的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比． 9．性質(zhì)： (1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊__成比例__； (2)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角__相等__； (3)相似多邊形周長(zhǎng)的比__等于__相似比，相似多邊形面積的比等于__相似比的平方__． 位似圖形 10．定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做__位似圖形__，這個(gè)點(diǎn)叫做__位似中心__，相似比叫做位似比． 11．性質(zhì)： (1)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于__k或－k__； (2)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于__位似比或相似比__． 12．找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是__位似中心__． 13．畫位似圖形的步驟： (1)確定__位似中心__； (2)確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)； (3)確定__位似比__，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)； (4)作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； (5)按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)． ,中考重難點(diǎn)突破) 比例的性質(zhì) 【例1】(2016杭州中考)如圖，已知直線a∥b∥c，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn).若＝，則＝( ) A. B. C. D．1 【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理可解． 【學(xué)生解答】B 1．(2015貴州中考)已知＝＝≠0，則的值為____． 相似三角形的判定與性質(zhì) 【例2】(2016蘭州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為，則△ABC與△DEF對(duì)應(yīng)中線的比為( ) A. B. C. D. 【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，本題中相似三角形的相似比為，即對(duì)應(yīng)的中線的比為. 【學(xué)生解答】A 2．(2016白銀中考)如果兩個(gè)相似三角形的面積比為1∶4，那么它們的周長(zhǎng)比是( D ) A．1∶16 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶2 3．(2016安徽中考)如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長(zhǎng)為( B ) A．4 B．4 C．6 D．4 4．(2016上海中考)在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，那么△ADE的面積與△ABC的面積比是____． 位似圖形 【例3】對(duì)于平面圖形上的任意兩點(diǎn)P，Q，如果經(jīng)過某種變換得到新圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我們把這種變換稱為“等距變換”，下列變換中不一定是等距變換的是( ) A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對(duì)稱 D．位似 【解析】平移的性質(zhì)是把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，則平移變換是“等距變換”； 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，則旋轉(zhuǎn)變換是“等距變換”； 軸對(duì)稱的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，則軸對(duì)稱變換是“等距變換”； 位似變換的性質(zhì)：位似變換的兩個(gè)圖形是相似形，則位似變換不一定是等距變換． 【學(xué)生解答】D 5．(2015宜賓中考)如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1∶2，∠OCD＝90，CO＝CD.若B(1，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( B ) A．(1，2) B．(1，1) C．(，) D．(2，1) 6．(2015貴陽(yáng)模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC的面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( D ) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)