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1、課后限時集訓(xùn)12
函數(shù)與方程
建議用時：45分鐘
一、選擇題
1．設(shè)f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B [∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∵函數(shù)f(x)＝ln x＋x－2的圖像是連續(xù)的，且為增函數(shù)，
∴f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)．]
2．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為( )
A．3 B．2
C．7 D．0
B [法一：(直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因
2、此函數(shù)f(x)共有2個零點．
法二：(圖像法)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數(shù)f(x)共有2個零點．]
3．已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0
C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符號不確定
C [f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，若0＜x0＜a，
則f(x0)＜f(a)＝0.]
4．已知函數(shù)f(x)＝x－(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零點分別為x1，x2，x3，則( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3
C．x2＜x3＜x1 D．x3＜
3、x1＜x2
C [作出y＝x與y1＝，y2＝－ex，y3＝－ln x的圖像如圖所示，可知選C.
]
5．(2019·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝則使方程x＋f(x)＝m有解的實數(shù)m的取值范圍是( )
A．(1,2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D [當x≤0時，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；當x＞0時，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故選D.]
二、填空題
6．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____
4、____．
[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線，
由題意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴實數(shù)a的取值范圍是.]
7．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________．
[∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，
由根與系數(shù)的關(guān)系知
∴
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，
解集為.]
8．(2019·漳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(
5、x)－m有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
(－，0] [作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．
當x≤0時，f(x)＝x2＋x＝－≥－，若函數(shù)f(x)與y＝m的圖像有三個不同的交點，則－＜m≤0，即實數(shù)m的取值范圍是(－，0].]
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點．
(1)求m的值．
(2)求函數(shù)的零點．
[解](1)因為f(x)＝4x＋m·2x＋1有且僅有一個零點，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0僅有一個實根．
設(shè)2x＝t(t＞0)，則t2＋mt＋1＝0.
當Δ＝0時，即m2－4＝0，
所以m＝±2，
當m＝－2時，t＝
6、1；
當m＝2時，t＝－1(不合題意，舍去)．
所以2x＝1，x＝0符合題意．
當Δ＞0時，即m＞2或m＜－2，
t2＋mt＋1＝0有兩正或兩負根，
即f(x)有兩個零點或沒有零點．
所以這種情況不符合題意．
綜上可知：當m＝－2時，f(x)有唯一零點．
(2)由(1)可知，該函數(shù)的零點為0.
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函數(shù)f(x)的圖像；
(2)當0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍．
[解](1)如圖所示．
(2)因為f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(
7、1，＋∞)上是增函數(shù)．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知，當0＜m＜1時，函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝m有兩個不同的交點，即方程f(x)＝m有兩個不相等的正根．
1．已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)＝[x]為取整函數(shù)，x0是函數(shù)f(x)＝ln x－的零點，則g(x0)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，
故x0∈(2,3)，∴g(x0)＝[x0]＝2.故選B.]
2．(2019·湖南婁底二模)若
8、x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，則x1x2等于( )
A．1 B．－1
C．e D.
A [考慮到x1，x2是函數(shù)y＝ex、函數(shù)y＝ln x與函數(shù)y＝的圖像的交點A，B的橫坐標，而A，
B兩點關(guān)于y＝x對稱，因此x1x2＝1.故選A.]
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．
(0,1] [令g(x)＝f(x)－b＝0，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有三個零點等價于f(x)＝b有三個根，當x≤0時，f(x)＝ex(x＋1)，則f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)＜0得
9、ex(x＋2)＜0，即x＜－2，此時f(x)為減函數(shù)，由f′(x)＞0得ex(x＋2)＞0，即－2＜x＜0，此時f(x)為增函數(shù)，即當x＝－2時，f(x)取得極小值f(－2)＝－，作出f(x)的圖像如圖：要使f(x)＝b有三個根，則0＜b≤1.
]
4．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
[解](1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內(nèi)有2個不同的解，
則原
10、方程有4個解等價于函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a的圖像有2個不同的交點，作出函數(shù)y＝g(t)(t＜1)的圖像(圖略)，由圖像可知，當1≤a＜時，函數(shù)y＝g(t)(t＜1)與y＝a有2個不同的交點，即所求a的取值范圍是[1，).
1．已知f(x)＝若關(guān)于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.∪[1,2) B.∪[1,2)
C．(1,2) D．[1,2)
B [關(guān)于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同實根等價于y＝a、y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點，畫出y＝a、y＝f(x)的圖像，如圖，由圖可知，當a∈∪[1,2)時，y＝a、y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點，此時，關(guān)于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同實根，所以實數(shù)a的取值范圍是∪[1,2)．故選B.
]
2．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上f(x)＝x，若關(guān)于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍．
[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函數(shù)的周期為4，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函數(shù)圖像關(guān)于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三個不同的根，則滿足
解得＜a＜，故a的取值范圍是(，)．
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