2021高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓26 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算 文 北師大版

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1、課后限時集訓26 正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b等于(　　) A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D. D　[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.] 2．(2019·成都模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝(　　) A. B. C. D. A　[由正弦定理得，sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，因為sin B≠0，所以sin Acos C＋sin

2、 Ccos A＝，即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.] 3．(2019·福建廈門一模)在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. D　[在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面積為S＝acsin B＝×1×2×＝.故選D.] 4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積

3、為，則C＝(　　) A. B. C. D. C　[由題可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因為C∈(0，π)，所以C＝.故選C.] 5．在△ABC中，若＝，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.當C＝90°時，△ABC為直角三角形．當＝時，由正弦定理，得＝，所以＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.因

4、為B，C均為△ABC的內(nèi)角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.] 二、填空題 6．在銳角△ABC中，角A，B所對的邊分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝________. 　[因為2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，得sin A＝，所以A＝或A＝.因為△ABC為銳角三角形，所以A＝.] 7．(2019·鄭州第二次質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，則b＝________. 　[由

5、正弦定理及題意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝6＋－＝，所以b＝.] 8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為________． ＋1　[∵b＝2，B＝，C＝， 由正弦定理＝， 得c＝＝＝2，A＝π－＝， ∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ＝. 則S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.] 三、解答題 9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B－C)的值． [解](1)由余弦定理b

6、2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝32＋c2－2×3×c×. 因為b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×. 解得c＝5.所以b＝7. (2)由cos B＝－得sin B＝. 由正弦定理得sin C＝sin B＝. 在△ABC中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角． 所以cos C＝＝. 所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝. 10．(2019·鄭州一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為S，且滿足sin B＝. (1)求sin Asin C； (2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△A

7、BC的周長． [解](1)∵△ABC的面積為S＝acsin B，sin B＝， ∴4××sin B＝b2，∴ac＝. ∴由正弦定理可得sin Asin C＝＝. (2)∵4cos Acos C＝3，sin Asin C＝. ∴cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－， ∵b＝，∴ac＝＝＝＝8， ∴由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝(a＋c)2－12， 解得a＋c＝3，∴△ABC的周長為a＋b＋c＝3＋. 1．(2019·武漢調(diào)研測試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝b，A－B＝

8、，則角C＝(　　) A. B. C. D. B　[因為在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因為a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因為B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故選B.] 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，則＝(　　) A. B．2 C．3 D. B　[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得acos B＝，又acos B－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝

9、0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故選B.] 3．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，△ACD的面積為4，則sin A＝________，BC＝________. 　4　[依題意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是銳角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sin A＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.] 4．(2019·西安質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，已知

10、2acos2＋2ccos2＝b. (1)求證：2(a＋c)＝3b； (2)若cos B＝，S＝，求b. [解](1)證明：由已知得， a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝b. 在△ABC中，過B作BD⊥AC，垂足為D， 則acos C＋ccos A＝b. 所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b. (2)因為cos B＝，所以sin B＝. 因為S＝acsin B＝ac＝， 所以ac＝8. 又b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，2(a＋c)＝3b， 所以b2＝－16×，所以b＝4. 1．(2019·郴州一模)在△ABC中

11、，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，則角C的大小是(　　) A.或 B. C. D. A　[由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，則cos A＝＝＝，則A＝， 由bc＝a2，得sin Bsin C＝sin2A＝×＝， 即4sin(π－C－A)sin C＝， 即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝， 即4sin C＝2sin2C＋2sin Ccos C＝， 即(1－cos 2C)＋sin 2C＝－cos 2C＋sin 2C＝， 則－cos 2C＋sin 2C＝0，則cos 2C＝sin 2C，則tan 2C

12、＝， 即2C＝或，即C＝或，故選A.] 2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cos2，BC邊上的中線AM的長為. (1)求角A和角B的大小； (2)求△ABC的面積． [解](1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc， 得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝， 又0＜A＜π，∴A＝. 由sin Asin B＝cos2， 得sin B＝，即sin B＝1＋cos C， 則cos C＜0，即C為鈍角， ∴B為銳角，且B＋C＝， 則sin＝1＋cos C，化簡得cos＝－1， 解得C＝，∴B＝. (2)由(1)知，a＝b，在△ACM中， 由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2， 解得b＝2， 故S△ABC＝absin C＝×2×2×＝. - 7 -