《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)47 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)47 理（含解析）新人教A版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時(shí)作業(yè)47 利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系
1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn)．求證：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1,0,0)．
(1)∵E，H分別是線段AP，AB的中點(diǎn)，
∴PB∥EH.
∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)
2、＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，
∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.
2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)證明AC⊥BC1；
(2)證明AC1∥平面CDB1.
證明：因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)分別為AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以△ABC為直角三角形，AC⊥BC.
所以AC，BC，C1C兩兩垂直．
如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，
3、CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B1(0,4,4)，D.
(1)因?yàn)椋?－3,0,0)，＝(0，－4，4)，
所以·＝0，所以AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，
則E(0,2,2)，＝，＝(－3,0,4)，
所以＝，DE∥AC1.
因?yàn)镈E?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1.
3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
4、
(1)求證：AA1⊥平面ABC；
(2)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值．
證明：(1)因?yàn)锳A1C1C為正方形，
所以AA1⊥AC.
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，AA1?平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AB，AA1⊥AC.
由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上的一點(diǎn)，且＝λ，
所以(x，y－3
5、，z)＝λ(4，－3,4)，
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，＝(0,3，－4)，
則9－25λ＝0，解得λ＝.
因?yàn)椤蔥0,1]，所以在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，
此時(shí)，＝λ＝.
4．(2019·桂林模擬)如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求證：BD⊥AA1；
(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)證明：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，
6、則BD⊥AC，連接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，
∴A1O⊥平面ABCD.
以O(shè)B，OC，OA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，
A1(0,0，)，C1(0,2，)．
由于＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，
·＝0×(
7、－2)＋1×0＋×0＝0，
∴⊥，即BD⊥AA1.
(2)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，
使BP∥平面DA1C1，
設(shè)＝λ，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．
從而有P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．
設(shè)平面DA1C1的法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則
又＝(0,2,0)，＝(，0，)，
則取n＝(1,0，－1)，
因?yàn)锽P∥平面DA1C1，則n⊥，
即n·＝－－λ＝0，得λ＝－1，
即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上，且C1C＝CP.
5．如圖1所示，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC
8、沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖2所示．
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)求二面角E-DF-C的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論．
解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EF∥AB.
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF.
(2)以D為原點(diǎn)，分別以DB，DC，DA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，
易知平面
9、CDF的法向量為＝(0,0,2)，
設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
取n＝(3，－，3)，
則cos〈，n〉＝＝，
∴二面角E-DF-C的余弦值為.
(3)存在．證明如下：設(shè)P(x，y,0)，
則·＝y(tǒng)－2＝0，
∴y＝.又＝(x－2，y,0)，
＝(－x,2－y,0)，
∵∥，∴(x－2)(2－y)＝－xy，
∴x＋y＝2.
把y＝代入上式得x＝，
∴P，∴＝，
∴點(diǎn)P在線段BC上．
∴在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE.
6．如圖(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別為AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE
10、＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖(2)所示．
(1)求證：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；
(3)線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由．
解：(1)因?yàn)锳C⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，
所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩DC＝D，
所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因?yàn)锳1C⊥CD，DE∩CD＝D，
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0
11、,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
設(shè)平面A1BE的法向量為n＝(x，y，z)，
則n·＝0，n·＝0.
又因?yàn)椋?3,0，－2)，＝(－1,2,0)，
所以
令y＝1，則x＝2，z＝，所以n＝(2,1，)．
設(shè)CM與平面A1BE所成的角為θ.
因?yàn)椋?0,1，)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
所以CM與平面A1BE所成角的大小為.
(3)線段BC上不存在一點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直．理由如下：
假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，設(shè)其坐標(biāo)為(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
設(shè)平面A1DP的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則·m＝0，·m＝0，
∵＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，
∴
∴z1＝y(tǒng)1，x1＝y(tǒng)1.
設(shè)y1＝6，則m＝(3p,6,2)，
∵平面A1DP與平面A1BE垂直，則m·n＝0，
∴6p＋6＋6＝0，p＝－2，∵0≤p≤3，
∴線段BC上不存在一點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直．
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