2020高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 2 第2講 用樣本估計總體練習 理（含解析）

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1、第2講 用樣本估計總體 [基礎題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分，7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(　　) A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差 解析：選A.記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的順序排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A. 2．(2019·廣東中山模擬)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月1日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其

2、頻率分布直方圖如圖所示．已知9時至10時的銷售額為3萬元，則9時至14時的銷售總額為(　　) A．10萬元 B．12萬元 C．15萬元 D．30萬元 解析：選D.9時至10時的銷售額頻率為0.1，因此9時至14時的銷售總額為＝30(萬元)，故選D. 3．(2018·高考全國卷Ⅰ)某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖： 則下面結論中不正確的是(　　) A．新農村建設后，種植收入減少 B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上 C．新農村

3、建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半 解析：選A.法一：設建設前經濟收入為a，則建設后經濟收入為2a，則由餅圖可得建設前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農村建設后，種植收入減少是錯誤的．故選A. 法二：因為0.6<0.37×2，所以新農村建設后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．故選A. 4．(2019·甘肅天水模擬)甲、乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平

4、均數(shù)分別為甲，乙，標準差分別為σ甲，σ乙，則(　　) A．甲<乙，σ甲<σ乙 B．甲<乙，σ甲>σ乙 C．甲>乙，σ甲<σ乙 D．甲>乙，σ甲>σ乙 解析：選C.由題圖可知，甲同學除第二次考試成績略低于乙同學外，其他考試成績都遠高于乙同學，可知甲>乙，圖中數(shù)據(jù)顯示甲同學的成績比乙同學穩(wěn)定，故σ甲<σ乙． 5．(2019·昆明調研)如圖是1951～2016年我國的年平均氣溫變化的折線圖．根據(jù)圖中信息，下列結論正確的是(　　) A．1951年以來，我國的年平均氣溫逐年增高 B．1951年以來，我國的年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高 C．2000年以來，我國每年的年平均氣

5、溫都高于1981～2010年的平均值 D．2000年以來，我國的年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值 解析：選D.由題圖可知，1951年以來，我國的年平均氣溫變化是有起伏的，不是逐年增高的，所以選項A錯誤；1951年以來，我國的年平均氣溫最高的不是2016年，所以選項B錯誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以選項C錯誤；2000年以來，我國的年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，所以選項D正確，故選D. 6．某中學奧數(shù)培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成績的平均數(shù)是88，乙組學生

6、成績的中位數(shù)是89，則n－m的值是________． 解析：由甲組學生成績的平均數(shù)是88，可得 ＝88，解得m＝3.由乙組學生成績的中位數(shù)是89，可得n＝9，所以n－m＝6. 答案：6 7．(2019·南寧模擬)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖甲和圖乙所示．為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為________、________． 解析：由題圖甲可知學生總人數(shù)是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數(shù)是2 000×2%＝40，由題圖乙可知高中生的近視率為50%，所

7、以抽取的高中生的近視人數(shù)為40×50%＝20. 答案：200　20 8．為了了解某校高三美術生的身體狀況，抽查了部分美術生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，作出了如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個小組的頻數(shù)為15，則被抽查的美術生的人數(shù)是________． 解析：設被抽查的美術生的人數(shù)為n，因為后2個小組的頻率之和為(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3個小組的頻率之和為0.75.又前3個小組的頻率之比為1∶3∶5，第2個小組的頻數(shù)為15，所以前3個小組的頻數(shù)分別為5，15，25，所以n＝＝60. 答案：60 9．某校

8、1 200名高三年級學生參加了一次數(shù)學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數(shù)學測驗的成績，從這1 200人的數(shù)學成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題： 成績分組 頻數(shù) 頻率 平均分 [0，20) 3 0.015 16 [20，40) a b 32.1 [40，60) 25 0.125 55 [60，80) c 0.5 74 [80，100] 62 0.31 88 (1)求a，b，c的值； (2)如果從這1 200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數(shù)學測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及

9、格)； (3)試估計這次數(shù)學測驗的年級平均分． 解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100. (2)根據(jù)已知，在抽出的200人的數(shù)學成績中，及格的有162人．所以P＝＝＝0.81. (3)這次數(shù)學測驗樣本的平均分為 ＝＝73， 所以這次數(shù)學測驗的年級平均分大約為73分． 10．有A，B，C，D，E五位工人參加技能競賽培訓．現(xiàn)分別從A，B二人在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次．用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)： (1)A，B二人預賽成績的中位數(shù)分別是多少？ (2)現(xiàn)要從A，B中選派

10、一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位工人參加合適？請說明理由． (3)若從參加培訓的5位工人中選2人參加技能競賽，求A，B二人中至少有一人參加技能競賽的概率． 解：(1)A的中位數(shù)是＝84，B的中位數(shù)是＝83. (2)派B參加比較合適．理由如下： B＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85， A＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85， s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5， s＝[(75－85)

11、2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， 因為A＝B，但s

12、點在A縣、B縣兩個地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位：毫克/立方米)列出的莖葉圖，A縣、B縣兩個地區(qū)濃度的方差較小的是(　　) A．A縣　　　　　　　　　 B．B縣 C．A縣、B縣兩個地區(qū)相等 D．無法確定 解析：選A.根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可知，A縣的數(shù)據(jù)都集中在0.05和0.08之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定，而B縣的數(shù)據(jù)分布比較分散，不如A縣數(shù)據(jù)集中，所以A縣的方差較?。? 2．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由題意這

13、組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8， 設x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4. 3．如圖是某位籃球運動員8場比賽得分的莖葉圖，其中一個數(shù)據(jù)染上污漬用x代替，那么這位運動員這8場比賽的得分平均數(shù)不小于得分中位數(shù)的概率為________． 解析：由莖葉圖可知0≤x≤9且x∈N，中位數(shù)是＝，這位運動員這8場比賽的得分平均數(shù)為(7＋8＋7＋9＋x＋3＋1＋10×4＋20×2)＝(x＋115)，由(x＋115)≥，得3x≤7，即x＝0，1，2，所以這位運動員這8場比賽的得分

14、平均數(shù)不小于得分中位數(shù)的概率為. 答案： 4．(2019·鄭州質量預測)我市某高中從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽(河南初賽)，他們取得的成績(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成績的中位數(shù)是81，乙班學生成績的平均數(shù)是86，若正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則＋的最小值為________． 解析：由甲班學生成績的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學生的成績按從小到大的順序排列的第4個數(shù)，故x＝1.由乙班學生成績的平均數(shù)為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G

15、，y成等比數(shù)列，可得G2＝xy＝4，由正實數(shù)a，b滿足a，G，b成等差數(shù)列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝(＋)×(＋)＝(1＋＋＋4)≥×(5＋4)＝(當且僅當b＝2a時取等號)．故＋的最小值為. 答案： 5．(應用型)某銷售公司為了解員工的月工資水平，從1 000位員工中隨機抽取100位員工進行調查，得到如下的頻率分布直方圖： (1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資； (2)該公司的工資發(fā)放是以員工的營銷水平為重要依據(jù)來確定的，一般認為，工資低于4 500元的員工屬于學徒階段，沒有營銷經驗，若進行營銷將會失??；高于4 500元的員工屬于成熟員工，進行營銷將會成功．現(xiàn)將

16、該樣本按照“學徒階段工資”“成熟員工工資”分成兩層，進行分層抽樣，從中抽出5人，在這5人中任選2人進行營銷活動．活動中，每位員工若營銷成功，將為公司賺得3萬元，否則公司將損失1萬元．試問在此次比賽中公司收入多少萬元的可能性最大？ 解：(1)估計該公司員工的月平均工資為0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)． (2)抽樣比為＝， 從工資在[1 500，4 500)內的員工中抽

17、出100×(0.1＋0.1＋0.2)×＝2(人)，設這兩位員工分別為1，2；從工資在[4 500，7 500]內的員工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×＝3(人)，設這三位員工分別為A，B，C. 從中任選2人，共有以下10種不同的等可能結果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)． 兩人營銷都成功，公司收入6萬元，有以下3種不同的等可能結果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率為； 其中一人營銷成功，一人營銷失敗，公司收入2萬元，有以下6種不同的等可能結果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2

18、，A)，(2，B)，(2，C)，概率為＝； 兩人營銷都失敗，公司收入－2萬元，即損失2萬元，有1種結果：(1，2)，概率為. 因為<<，所以公司收入2萬元的可能性最大． 6．(2019·河北三市第二次聯(lián)考)某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學在連續(xù)的8次數(shù)學周練中，統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如圖： (1)比較這兩名同學8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學做解答題相對穩(wěn)定些； (2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名同學失分超過15分的頻率作為概率，假設甲、乙兩名同學在同一次周練中失分多少互不影響，預測在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值． 解：(

19、1) 甲 ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙兩名同學解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學解答題失分的方差比乙同學解答題失分的方差大．所以乙同學做解答題相對穩(wěn)定些． (2)根據(jù)統(tǒng)計結果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1＝，P2＝， 兩人失分均超過15分的概率為P1P2＝， X的所有可能取值為0，1，2.依題意，X～B(2，)， P(X＝k)＝C()k()2－k，k＝0，1，2， 則X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值E(X)＝2×＝. - 9 -