《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)29 等差數(shù)列及其前n項和 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)29 等差數(shù)列及其前n項和 理（含解析）北師大版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓(xùn)(二十九) 等差數(shù)列及其前n項和
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A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1．(2019·南寧模擬)等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝6，則{an}的前9項和等于( )
A．－18 B．27 C．18 D．－27
B [S9＝＝＝＝27.故選B．]
2．?dāng)?shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝( )
A．9 B．10 C．11 D．12
D [由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故選D．]
3．公差
2、不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為( )
A．15 B．21 C．23 D．25
D [由題意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2D．
∴λ＝＝＝＝25，故選D．]
4．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，則a4＝( )
A. B．1 C. D．
A [∵an＋1＝，∴－＝，又a1＝3，∴數(shù)列是以＝為首項，為公差的等差數(shù)列，∴＝＋＝，即an＝.∴a4＝.故選A.]
5．(2019·四川棠湖中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為( )
A．4
3、 B．5
C．6 D．4或5
B [由{an}為等差數(shù)列，所以－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2.由a1＝9，所以an＝－2n＋11.
所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即Sn存在最大值．
由解得4.5＜n≤5.5.
所以Sn取最大值時的n為5，故選B．]
二、填空題
6．(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為________．
an＝6n－3 [∵a1＝3，a2＋a5＝a1＋a6＝36，∴a6＝33，
∴公差d＝＝＝6，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×6＝6n－3.]
7．正項數(shù)列{an}滿足a1
4、＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.
[由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得數(shù)列{a}是等差數(shù)列，公差d＝a－a＝3，首項a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝.]
8．(數(shù)學(xué)文化)《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個問題：“今有金箠(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是________．
5、
15斤 [由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤．]
三、解答題
9．(2019·太原模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＜0，S2 019＝0.
(1)求Sn的最小值及此時n的值；
(2)求n的取值集合，使其滿足an≥Sn.
[解] (1)設(shè)公差為d，則由S2 019＝0?2 019a1＋d＝0?a1＋1 009d＝0，
d＝－a1，a1＋an＝a1，
所以Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2 019n－n2)．
因為a1＜0，n∈N*，所以當(dāng)n＝1 009或1 010時，Sn取最小值505a1.
(2
6、)an＝a1，
Sn≤an?(2 019n－n2)≤a1.
因為a1＜0，所以n2－2 021n＋2020≤0
即(n－1)(n－2 020)≤0，
解得1≤n≤2 020.故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 020，n∈N*}．
10．已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)已知數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.
[解] (1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2
7、＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
則bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝＝.
B組 能力提升
1．若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2 019·a2 020＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是( )
A．2 019 B．2 020 C．4 038 D．4 039
C [因為a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2
8、019·a2 020＜0，所以d＜0，a2 019＞0，a2 020＜0，所以S4 038＝
＝＞0，
S4 039＝＝4 039a2 020＜0，所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 038.]
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
D [∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝2，am＋1＝3，
∴公差d＝1.
又Sm＝＝0，∴a1＋am＝0，∴a1＝－2.
∴am＝－2＋(m－1)×1＝2，∴m＝5.]
3．已知等差數(shù)列2,6,10，…，1
9、90，…，和等差數(shù)列2,8,14，…，200，…，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
12n－10 [兩個等差數(shù)列的公共項為2,14,26，…，即新數(shù)列的首項為2，公差為12，故an＝2＋(n－1)×12＝12n－10.]
4．(2018·綿陽三模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若an＞0，數(shù)列的前n項和為Tn，試問當(dāng)n為何值時，Tn最??？并求出最小值．
[解] (1)由已知a1an＝S1＋Sn，
可得當(dāng)n＝1時，a＝a1＋a1，
可
10、解得a1＝0或a1＝2.
當(dāng)n≥2時，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，
從而可得a1(an－an－1)＝an.
若a1＝0，則an＝0，此時數(shù)列{an}的通項公式為an＝0.
若a1＝2，則2(an－an－1)＝an，化簡得an＝2an－1，
即此時數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故an＝2n.
綜上所述，數(shù)列{an}的通項公式為an＝0或an＝2n.
(2)因為an＞0，故an＝2n.
設(shè)bn＝log2，則bn＝n－5，顯然{bn}是等差數(shù)列，
由n－5≥0，得n≥5，且b5＝0，
所以當(dāng)n＝4或n＝5時，Tn最小，最小值為T4＝T5＝＝－10.
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