2020版高考數學新設計大一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數Ⅰ第9節(jié) 函數模型及其應用習題 理（含解析）新人教A版

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1、第9節(jié)　函數模型及其應用 最新考綱　1.了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義；2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用. 知 識 梳 理 1.指數、對數、冪函數模型性質比較 函數 性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行

2、 隨n值變化而各有不同 2.幾種常見的函數模型 函數模型 函數解析式 一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a、b為常數，a≠0) 二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0) 與指數函數相關模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0) 與對數函數相關模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0) 與冪函數相關模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數，a≠0) [微點提醒] 1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；“

3、對數增長”先快后慢，其增長速度緩慢. 2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數的圖象和性質是解題的關鍵. 3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性. 基 礎 自 測 1.判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”) (1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.(　　) (2)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大.(　　) (3)不存在x0，使ax01)的增長速度會超過并遠遠大

4、于y＝xa(a>0)的增長速度.(　　) 解析　(1)9折出售的售價為100(1＋10%)×＝99元. ∴每件賠1元，(1)錯. (2)中，當x＝2時，2x＝x2＝4.不正確. (3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)錯. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(必修1P107A1改編)在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數據，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 則對x，y最適合的擬合函數是(　　) A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2

5、 D.y＝log2x 解析　根據x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意. 答案　D 3.(必修1P59A6改編)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年

6、解析　設經過n年資金開始超過200萬元， 即130(1＋12%)n>200. 兩邊取對數，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n>≈＝，∴n≥4， ∴從2021年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元. 答案　B 4.(2018·昆明診斷)生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元).一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數量為(　　) A.36萬件 B.18萬件 C.22萬件 D.9萬件 解析　利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2

7、＋142，當x＝18萬件時，L(x)有最大值. 答案　B 5.(2018·黃岡檢測)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析　在同一坐標系內，根據函數圖象變化趨勢，當x∈(4，＋∞)時，增長速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x). 答案　B 6.(2019·北京海淀區(qū)月考)某公司為了發(fā)展業(yè)務制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷

8、售額x為8萬元時，獎勵1萬元.銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應為________萬元. 解析　依題意解得 ∴y＝2log4x－2， 令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024. 答案　1 024 考點一　利用函數的圖象刻畫實際問題 【例1】 (2017·全國Ⅲ卷)某城市為了解游客人數的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數據，繪制了下面的折線圖. 根據該折線圖，下列結論錯誤的是(　　) A.月接待游客量逐月增加

9、B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 解析　由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤. 答案　A 規(guī)律方法　1.當根據題意不易建立函數模型時，則根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案. 2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數學直觀想象核心素養(yǎng). 【訓練1】 高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h

10、時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是(　　) 解析　v＝f(h)是增函數，且曲線的斜率應該是先變大后變小，故選B. 答案　B 考點二　已知函數模型求解實際問題 【例2】 為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝(0≤x≤10，k為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(

11、x)達到最小？并求最小值. 解　(1)當x＝0時，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10). (2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10. 令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 則y＝2t＋－10≥2－10＝70(當且僅當2t＝，即t＝20時等號成立)， 此時x＝5，因此f(x)的最小值為70. ∴隔熱層修建5 cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元. 規(guī)律方法　1.求解已知函數模型解決實際問題的關注點. (1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數. (2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系

12、數. 2.利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗. 【訓練2】 已知某服裝廠生產某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數解析式為q(x)＝求該服裝廠所獲得的最大效益是多少元？ 解　設該服裝廠所獲效益為f(x)元， 則f(x)＝100xq(x)＝ 當0

13、200，f(x)單調遞增，當80≤x≤180時，f′(x)≤0，f(x)單調遞減， 所以當x＝80時，f(x)有極大值，也是最大值240 000. 由于120 000<240 000. 故該服裝廠所獲得的最大效益是240 000元. 考點三　構造函數模型求解實際問題多維探究 角度1　二次函數、分段函數模型 【例3－1】 “活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數.當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4

14、≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年. (1)當0

15、時，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以當0

16、面積的百分比為x(0

17、點： ①分段要簡潔合理，不重不漏；②分段函數的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. 【訓練3】 (1)某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為(　　) A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3 (2)(2017·北京卷)根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是(　　) (參考數據：lg 3≈0.48) A

18、.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析　(1)設該職工用水x m3時，繳納的水費為y元， 由題意得y＝ 則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13. (2)M≈3361，N≈1080，≈， 則lg≈lg＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93. ∴≈1093. 答案　(1)A　(2)D [思維升華] 　解函數應用問題的步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型； (3)解模：求解

19、數學模型，得出數學結論； (4)還原：將數學問題還原為實際問題. 以上過程用框圖表示如下： [易錯防范] 1.解應用題思路的關鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”，學生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導致題目不會做或函數解析式寫錯，故建議復習時務必養(yǎng)成良好的審題習慣. 2.在解應用題建模后一定要注意定義域，建模的關鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關系. 3.解決完數學模型后，注意轉化為實際問題寫出總結答案. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm

20、，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數關系用圖象表示為圖中的(　　) 解析　由題意得關系式為h＝20－5t(0≤t≤4).圖象應為B項. 答案　B 2.設某公司原有員工100人從事產品A的生產，平均每人每年創(chuàng)造產值t萬元(t為正常數).公司決定從原有員工中分流x(0

21、分流x人后，每年創(chuàng)造的產值為(100－x)(1＋1.2x%)t，則由 解得0

22、＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因為x∈[0，16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元. 答案　C 4.我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10lg(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強度)，則70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的(　　) A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍 解析　由η＝10lg 得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以

23、＝10， 所以70 dB的聲音的聲波強度I1是60 dB的聲音的聲波強度I2的10倍. 答案　C 5.當生物死亡后，其體內原有的碳14的含量大約每經過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經過的“半衰期”個數至少是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 解析　設該死亡生物體內原有的碳14的含量為1，則經過n個“半衰期”后的含量為，由<，得n≥10. 所以，若某死亡生物體內的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需

24、要經過10個“半衰期”. 答案　C 二、填空題 6.(2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________. 解析　一年的總運費與總存儲費用之和為y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，當且僅當＝4x，即x＝30時，y有最小值240. 答案　30 7.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R＝a(a為常數)，廣告效應為D＝a－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為___

25、_____(用常數a表示). 解析　令t＝(t≥0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以當t＝a，即A＝a2時，D取得最大值. 答案　a2 8.一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出， t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一. 解析　當t＝8時，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝. 容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24. 所以再經過16 min容器

26、中的沙子只有開始時的八分之一. 答案　16 三、解答題 9.某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3

27、x－3)(x－6)2，3

28、度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為v＝a＋blog3(其中a，b是實數).據統(tǒng)計，該種鳥類在靜止時其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1 m/s. (1)求出a，b的值； (2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少個單位？ 解　(1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0 m/s，此時耗氧量為30個單位，故有a＋blog3＝0， 即a＋b＝0；當耗氧量為90個單位時，速度為1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1. 解方程組得 (2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飛行速度不低于2 m/s

29、，則有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個單位. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數衰減曲線y＝aent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有 L，則m的值為(　　) A.5 B.8 C.9 D.10 解析　∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函數y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln，∴f(t)＝a·， 因此，當k m

30、in后甲桶中的水只有 L時， f(k)＝a·＝a，即＝， ∴k＝10，由題可知m＝k－5＝5. 答案　A 12.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A.略有盈利 B.略有虧損 C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況 解析　設該股民購這支股票的價格為a元，則經歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.

31、99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損. 答案　B 13.某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是________小時. 解析　由已知條件，得192＝eb， 又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2， ∴e11k＝＝＝. 設該食品在33 ℃的保鮮時間是t小時， 則t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24. 答案　24 14.某企業(yè)去年年底給全部的8

32、00名員工共發(fā)放2 000萬元年終獎，該企業(yè)計劃從今年起，10年內每年發(fā)放的年終獎都比上一年增加60萬元，員工每年凈增a人(a∈N*). (1)若a＝10，在計劃時間內，該企業(yè)的人均年終獎是否會超過3萬元？ (2)為使人均年終獎年年有增長，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過多少人？ 解　設從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均發(fā)放年終獎為y萬元. 則y＝(a∈N*，1≤x≤10，x∈N*). (1)當a＝10時，假設該企業(yè)的人均年終獎會超過3萬元，則>3，解得x>>10. 所以，10年內該企業(yè)的人均年終獎不會超過3萬元. (2)任取x1，x2∈N*，且1≤x10， 所以60×800－2 000a>0，解得a<24. 所以，為使人均年終獎年年有增長，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過23人. 15